RGR_3semestr_Ekonomisty
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯИ НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е.И. Назарова, А.В. Келлер
МАТЕМАТИКА
Сборник контрольных заданий Часть 3
Челябинск
2014
Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра математического моделирования
МАТЕМАТИКА
Сборник контрольных заданий Часть 3
Челябинск Издательский центр ЮУрГУ
2014
Одобрено учебно-методической комиссией факультета Математики, механики и компьютерных наук
Рецензент:
Математика: сборник контрольных заданий / составители Е.И. Назарова, А.В. Келлер. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2014. – Ч. 3. – 58 с.
В сборник включены задачи по темам: «Интегральное исчисление функции одной переменной», «Дифференциальные уравнения», а также задания, формирующие умения использовать методы математики для решения профессиональных задач. Сборник содержит образцы решения и оформления всех приведенных задач.
Целью сборника заданий является систематизация знаний студентов в соответствии с изучаемыми разделами дисциплины «Математика» третьего семестра укрупненной группы направлений подготовки 38.00.00 Экономика и управление; предназначен для самостоятельной работы студентов в течение семестра, а также при подготовке к экзамену (зачету).
© Издательский центр ЮУрГУ, 2014
ВВЕДЕНИЕ
Расчетно-графическая работа (РГР) является одним из видов самостоятельной работы студентов, входит в учебный план дисциплины «Математика» как обязательный элемент учебной деятельности.
Данный сборник заданий включают подборку задач по темам, соответствующим дисциплине «Математика» третьего семестра укрупненной группы направлений подготовки 38.00.00 Экономика и управление, а именно «Интегральное исчисление функции одной переменной», «Дифференциальные уравнения».
Для выполнения работы студент должен знать перечень заданий, которые необходимо выполнить, и номер своего варианта.
Набор заданий, которые будут включены в РГР студентов каждого из направлений подготовки, определяет преподаватель.
Номер варианта определяется порядковым номером студента в списке, представленном в журнале группы. Номер каждого задания состоит из двух частей: первое число определяет номер раздела, к которому относится задание, второе число – порядковый номер задания в данном разделе.
Работа выполняется в отдельной тетради (12–18 листов) в клеточку. Обложка тетради оформляется в печатном виде в соответствии с образцом, представленном в приложении 1. В местах пропусков должны быть внесены соответствующие данные выполнившего работу студента и преподавателя, который будет проверять семестровое задание. Регистрацион-
ные данные вносятся секретарем кафедры при поступлении работы.
На последнюю страницу тетради (обложку) клеится лист проверки, представленный в приложении 2. На листе проверки необходимо указать данные студента, а также номера заданий, которые были включены в семестровую работу.
Требования при выполнении работы:
условие каждой задачи вклеивается в тетрадь в печатном виде (или пишется от руки разборчивым почерком),
приводится полное решение с необходимыми пояснениями, вычислениями и расчетами,
после решения записывается ответ (если задание содержит несколько пунктов, то ответ необходимо записывать для каждого пункта решения),
графические построения выполняются карандашом,
текст решения всех задач должен быть в письменном виде,
для отметок и замечаний преподавателя должны быть оставлены поля (3–4 см),
решение задач должно быть представлено по порядку.
3
РГР сдается на кафедру до указанного преподавателем срока и регистрируется секретарем кафедры. Работа принимается на проверку только в том случае, если содержит все задания, которые были включены в РГР, и удовлетворяет требованиям к оформлению.
На проверку РГР преподавателю необходимо не менее 7 дней со дня сдачи работы.
Результаты проверки РГР преподаватель заносит в списки, находящиеся на кафедре, по мере проверки работ.
Если РГР содержит все задания, удовлетворяет предъявляемым требованиям к оформлению и выполнена без серьезных ошибок, то она считается допущенной к экзамену (зачету), иначе возвращается на доработку. Для чего РГР следует взять у преподавателя (или у секретаря кафедры) выполнить в течение 2–3 дней работу над ошибками в этой же тетради и сдать для повторной проверки на кафедру.
Рекомендуется выполнение заданий РГР по мере изучения соответствующих тем, поскольку это способствует более глубокому усвоению полученных знаний и своевременному формированию умений. Необходимо отметить, что правильное своевременное выполнение РГР является одним из основных параметров, определяющих успешность освоения предмета.
4
Раздел I. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРМЕННОЙ
В разделе «Интегральное исчисление функции одной переменной» рассматриваются задачи на вычисление неопределенного и определенного интегралов от функций одной переменной (рациональных, тригонометрических, иррациональных) различными методами: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям. Более того, рассматриваются задачи экономического содержания, при решении которых применяется интегральное исчисление.
Основные типы интегралов и методы их вычисления представлены в учебной литературе следующих авторов: Н. Ш. Кремер, В.А. Малугин, Д.Т. Письменный, В.И. Малыхин, М.С. Красс и Б.П. Чупрынов. Следует отметить, что теоретический материал разных авторов отличается последовательностью изложения материала и структурой методов, поэтому основой должен выступать лекционный материал. Несмотря на это, в учебных пособиях рассматривается более широкий круг задач, что поможет как при выполнении семестровой работы, так и при самостоятельной подготовке к занятиям. Практикумы и задачники В.И. Ермакова, Г.Н. Бермана и Н. Ш. Кремера содержат все рассматриваемые типы интегралов и помогут сориентироваться при выборе методов решения задач.
Задача 1.1. Вычислить неопределенные интегралы.
а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) |
|
1 cos2x |
dx; |
8) |
|
2 cos 2x |
|
dx; |
15) |
|
|
cos3 x 1 |
dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
2dx |
|
|
|
; |
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
16) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
9 16x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 4x2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 8x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3) |
|
|
|
cos 2x dx |
; |
10) |
|
cos3 x 5 |
|
dx; |
17) |
|
cos2 x sin2 x |
dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cosx sinx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
1 3tg |
2x |
|
dx; |
11) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
18) |
|
|
|
3 dx |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 6x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
12) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
19) |
|
1 ctg2x |
dx; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 cos2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
cos3 x |
|
|
dx; |
13) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
20) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
1 cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 25x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
14) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx; |
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
x2 |
x |
|
|
|
|
|
1 2ctg |
2x |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||
22) |
|
|
|
|
|
|
dx; |
25) |
|
|
|
|
|
|
dx; |
28) |
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x2 8 |
|||||||||||
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
cos2 x |
dx; |
|||||||||
23) |
4 |
|
2 3x 3 |
26) |
|
|
|
|
|
; |
|
29) |
|
||||||||||||||
|
|
4 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
cos2x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24) |
cosx sinxdx; |
27) |
e |
|
1 |
dx; |
30) |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
3 5x2 |
б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) |
x3 x4 |
5dx; |
|||||||||||||
2) |
|
|
|
2xdx |
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 4x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
|
|
|
sin x dx |
; |
||||||||||
|
9 cos2 x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
3xe x2 dx; |
||||||||||||||
5) |
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x6 1 |
|
||||||||
6) |
|
|
|
4xdx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 4x |
|
||||||||
7) |
|
|
|
cosx dx |
|
; |
|||||||||
|
|
4 sin2 x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2x dx
8)4 9x2 ;
9)3x2 1 x3 8dx;
10) |
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|||
x |
1 ln2 x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 x6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12) |
|
|
|
|
|
|
cosx dx |
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin2 x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13) |
|
|
|
|
x |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|
|
|
dx; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2x |
||||||||||||||||||
|
x34 |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
||||||||||||||||
15) |
3 5x4 |
||||||||||||||||||||||||
16) |
|
|
|
|
|
sin3x dx |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 cos3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
17) |
3xe2 3x2 dx; |
||||||||||||||||||||||||
18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 x4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
19) |
|
|
|
sinx dx |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 cosx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 ex |
|
|
|
|
|
|
|
21) |
xe 2x2 dx; |
|
|
|||||||||
22) |
|
|
sinx dx |
|
|
; |
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
||||
|
|
|
3x dx |
|
|
|||||||
23) |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 3x |
|
|
||||
24) |
|
|
|
3sin x dx |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
81 cos2 x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25) x34 x4dx;
cos x dx
26)3 sin2x ;
27)ex sinexdx;
28) |
|
|
|
sin x dx |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 2cosx |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
cos3 x dx |
|
|
||||
29) |
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
||
|
|
|
3exdx |
|
|
|||
30) |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
1 e2x |
|
|
в) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) |
sin2 x cos4 xdx; |
6) |
sin4 |
x cos2 x dx; |
11) |
sin3x cos2x dx; |
2) |
sin7xsin3x dx; |
7) |
sin2 |
x cos3 x dx; |
12) |
cos3 x 1 dx; |
3) |
cos4 x dx; |
8) |
sin5x dx; |
13) |
sin2 3x cos2 3x dx; |
|
4) |
sin3 xcos2 x dx; |
9) |
sin4xsin5x dx; |
14) |
cos 7x cos 2x dx; |
|
5) |
cos3 x dx; |
10) sin2 x cos2 x dx; |
15) |
cosxsin 2x dx; |
6
16) |
cos3 |
xsin 2x dx; |
21) |
sin3 x sin2x dx; |
||||
17) |
cos 2x cos 5x dx; |
22) |
sin2 2x cos2 x dx; |
|||||
|
|
sin3 x dx |
23) |
sin7x cos3x dx; |
||||
18) |
|
|
; |
|
cos4 x sin3 x dx; |
|||
|
|
|
||||||
|
|
cos4 x |
24) |
|||||
19) |
sin3 x cos4 x dx; |
|
|
cos3 x |
||||
20) |
cos5 |
x dx; |
25) |
|
dx; |
|||
sin4 x |
26)sincos4xxdx;
27)sinx cos2 x dx;
28)sin3xsin5x dx;
29)sin3 2x dx;
30)cos 9x cos 5x dx.
г) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) |
|
|
3x 2 |
|
dx; |
|
|
11) |
|
x 1 dx |
|
|
; |
|
|
|
|
21) |
|
3x 2 |
dx; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x 1 |
|
|
x x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 2x2 1 |
22) |
|
x 3 dx |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
x 3 dx |
|
; |
13) |
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
23) |
|
|
x2 x 1 |
dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x x 1 x 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 4 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 3 x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
x x 1 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
15) |
|
dx; |
25) |
|
|
|
|
|
dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
x 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
dx; |
|
|
16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
; |
26) |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
6x2 |
9x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x2 |
1 |
|
|
|
x 1 x 3 x 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
; |
|
|
|
17) |
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
27) |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 3x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x2 4 |
|
|
|
|
x x2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 dx; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
|
|
|
|
|
|
|
x 8 |
|
|
dx; |
18) |
|
|
|
|
|
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|
dx; |
28) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 4x2 4x |
|
x3 4x2 4 |
|
|
|
|
|
x3 5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
|
; |
|
|
|
|
19) |
|
|
|
; |
29) |
x 1 x 5 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x2 |
1 |
|
|
|
|
x x2 |
5x 6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
dx; |
20) |
|
x 3 dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
30) |
|
|
|
x2 x 3 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 8x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
3x |
2 |
|
|
|
|
x |
3 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
д) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
dx; |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
7
x1 dx
4)1 3x 1;
5)1 dx2 x ;
dx
6) x 3x ;
7) 4x3 dx;
1 x
dx
8) 1 x 2 ;
3 x2 1
9) 3x 16dx;
10) |
2 |
|
|
x |
|
dx; |
2 |
|
3 |
|
|
||
|
||||||
|
|
x |
dx
11)x 73x ;
12)1 4xx dx;
13)x 1 dx ;
x2x 1
dx
14)1 3x 1;
15)x2dxx 1;
dx
16) x 3 1;
xdx
17) 1 3x ;
dx
18) 3x 8 x ;
dx
19) x 1 3x 1;
20) |
1 |
|
|
x |
dx; |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
3 |
|
|||
|
||||||
|
|
x |
4dx
21) x 3 1;
dx
22) 1 4x 2;
2x
23)5 4x dx;
24)1 4xx dx;
25) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
dx; |
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
x 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
26) |
|
|
|
|
|
|
xdx |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
3 x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
27) |
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
dx; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
x 5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
28) |
|
|
|
x |
1 |
dx; |
||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
3x 1
29)1 3x 1dx;
x dx
30) 1 4x .
e) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) |
(2x 1)e2xdx; |
||
2) |
xcos 4x dx; |
||
3) |
xe 2xdx; |
||
4) |
|
|
ln x dx; |
x |
|||
5) |
xarctg x dx; |
||
6) |
x2 ln xdx; |
||
7) |
arctg 5x dx; |
8) x cos xdx; sin3 x
9)x 1 ln x dx;
10)cosxsin3 xxdx;
11)2x 1 sin x dx;
12)(x 3)e3xdx;
13)2xcos2x dx;
14)x 4 ln x dx;
15)x cos 4x dx;
16)2x3 lnx dx;
xdx
17)sin2 x;
18)x ln x 1 dx;
19)xe 3xdx;
20)arcsin3x dx;
21)4xsin 2x dx;
22)3x2 ln x dx;
23)arctg 4x dx;
24)5x 1 exdx;
25)(x 2)sin3x dx;
26)x3 x ln x dx;
27)arcctg 3x dx;
28)arccos2x dx;
29)x 1 e 3xdx;
xdx
30)cos2 x.
Пример 1.1
Вычислить неопределенные интегралы.
а) |
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
x 9 |
|
|||||
|
|
x |
Решение
Данный интеграл не является табличным. Преобразуем выражение, стоящее под знаком интеграла путем умножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x 9 |
x |
|
|
|
x 9 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||
x 9 |
x |
x 9 |
x |
x 9 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 9 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 9 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 9 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 9 x |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, интеграл от суммы функций, распишем на сумму интегралов от степенных функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x 9 |
|
x 9dx |
|
|
|
|
x 9 |
2 |
dx |
|
x2dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x 9 2 |
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
x 9 3 |
x3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x 9 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
x |
lnx |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Выполним эквивалентные преобразования выражения, стоящего под знаком интеграла: каждое слагаемое в числителе разделим на знаменатель, а затем, согласно свойствам неопределенного интеграла, полученный интеграл от суммы распишем на сумму интегралов
|
3 |
x |
ln x |
3 |
|
x |
|
|
ln x |
3 |
x |
|
dx |
ln x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
(*) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
dx |
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
x |
|
Выражение под знаком первого интеграла можно упростить, и интеграл вычисляется как интеграл от степенной функции.
Второй интеграл выпишем отдельно и вычислим методом замены переменной. На новую переменную заменим ln x, найдем dx, тогда интеграл примет вид
9