7) Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Пусть функции

Однозначно отображают область V в область V`

Отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

1) Переход от декартовых координат (X,y,z) к цилиндрическим координатам (r,φ,z).

x=rcosφ

y=rsinφ

z=z

r=sqrt(x²+y²)

tgφ=y/x, 0≤r<∞

–π<φ≤π

Б) Переход от декартовых координат к сферическим координатам и обратно:

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

r=sqrt(x²+y²+z²)

8) Задача о работе силового поля. Криволинейный интеграл второго рода, вычисление, свойства. Формула Грина.

Точная формула вычисления работы

Свойства криволинейного интеграла второго рода

1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −Cкривую противоположного направления - от B к A. Тогда

2. Если C − объединение кривых C₁ и C₂ (рисунок 2 выше), то

3. Если кривая C задана параметрически в виде , то

4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, чтоR =0и t = x), то последняя формула записывается в виде

 формула Грина

22. Разложение в тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение по синусам и косинусам.

f(x) – четная: ;

f(x) – нечетная: ;

f(x) – четная: ,,;

f(x) – нечетная: ,,