
- •Министерство образования и науки российской федерации
- •2) Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •2.2. Вероятность появления хотя бы одного события
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Байеса (Бейеса)
- •5) Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
2.4. Формула Байеса (Бейеса)
Имеется
полная группа несовместных гипотез .
Вероятности этих гипотез до опыта
известны и равны соответственно:
.
Произведен опыт, в результате которого
наблюдено появление события А. Вероятность
того, что появилась i-ая гипотеза,
при условии того, что произошло событие
А
,
где вероятность события А находится
с помощью формулы полной вероятности
Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).
4)
Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона |
|
|
|
Пусть А – случайное событие, вероятности появления и непоявления Которого для некоторого испытания известны:
И
пусть производится не одно, а N повторных
испытаний (или, что одно и то же,
испытание повторяется N раз).
Возникает естественный вопрос: какова
вероятность того, что событие А В
этих N повторных
испытаниях появитсяK раз
(целое число K можно
задавать любым в пределах от 0 до N)?
При этом не важно, в каком порядке
событие Апоявится K раз
в N испытаниях.
Важно лишь общее число K Появлений
этого события. Эту вероятность
обозначают символом
Доказательство. Если
в N повторных
испытаниях событие А появится K Раз,
то соответственно оно не появится N-Kраз.
И тогда вероятность любой конкретной
комбинации K появлений
события А и N-K непоявлений
этого события можно найти по формуле
(4.15) произведения вероятностей
независимых в совокупности событий.
То есть она равна Пример 1. Монету подбрасывают пять раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно три раза? Решение. Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=5 – число повторных испытаний. Далее, будем считать событием А в каждом испытании (при каждом бросании монеты) выпадение герба. Тогда
На основании формулы Бернулли получаем:
Формула
Бернулли – точная формула. Однако при
больших значениях N (большом
числе испытаний) вычисления по ней
становятся громоздкими из-за
необходимости вычисления факториалов
больших чисел и степеней с большими
показателями. В процессе этих вычислений
неизбежно придется производить
округления, что приведет к погрешности
при определении искомой вероятности |
Другой
приближенной формулой для подсчета
вероятностей ,
применяемой при больших N,
является Формула
Пуассона (формула
редких событий):
,
где
(6.6)
Она
применяется, когда N Велико
(условно N50),
а Р мало
(0<Р<0,1),
и когда Npq<10.
То есть когда не оправдано ни применение
формулы Бернулли, ни применение локальной
формулы Лапласа. При этих условиях
приближенная формула Пуассона, как и
локальная формула Лапласа, обеспечивает
определение искомой вероятности
С
погрешностью в пределах одного процента.
Кстати,
так как вероятность события А Мала
(0<Р<0,1),
то при повторении испытаний
событие А наступает
редко. Поэтому формула Пуассона и
называется формулой редких событий.
Вывод этой формулы опустим.
Пример 3. Производится 50 повторных испытаний, причем вероятность появления некоторого события А В каждом из них равна 0,98. Определить вероятность того, что событие А наступит во всех 50 испытаниях.
Решение. В данной задаче
P(A)=P=0,98; P(Ā)=Q=0,02; N=50; K=50;
Если применить формулу Бернулли, то получим результат, который очевиден и без формулы Бернулли:
Попробуем избежать громоздкой процедуры возведения числа 0,98 в 50-ую степень (её, впрочем, можно и избежать, если использовать логарифмы). То есть заменим формулу Бернулли на локальную формулу Лапласа или Пуассона.
Так
как Npq=50·0,98·0,02=0,98<10,
то локальную формулу Лапласа применять
нельзя - мы получим слишком грубый
(неточный) результат. Но и формулу
Пуассона (формулу редких событий) мы
тоже применить не можем, так как
вероятность Р не
мала, а наоборот, велика. Но зато мала
вероятность Q непоявления
этого события. В связи с этим переформулируем
задачу: найдем вероятность того,
что событие
появится
0 раз (ни разу). Эта вероятность, очевидно,
совпадает с искомой вероятностью
Того,
что событие А появится
во всех 50 испытаниях. Тогда в этой
постановке получаем:
P(Ā)=P=0,02; P(A)=Q=0,98; N=50; K=0; ?
Применяя формулу Пуассона (теперь ее применять можно), получим:
≈
=
|λ=Np=50·0,02=1|
=
=
≈
≈
0,37.