Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:  ,  где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

Для искомой вероятности получаем: .

3)  Теоремы сложения и умножения вероятностей

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно

События А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно.

Суммой двух события А и В называется событие с, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.

Сумой нескольких событий называется событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема сложения вероятностей совместных событий

В случае четырех и более события данная формула еще больше усложняется

События А и В называются независимыми, если вероятность появления события А не зависит от появления события В и наоборот: вероятность события в не зависит от появления события А.

События А и  В называются зависимыми, если  вероятность события В зависит от того появилось ли событие А или наоборот.

Произведением двух события А и В называется событие С, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее вы том, что данные события появятся одновременно.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Где - условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.

 

2.2. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть события независимые, причем

Вероятность появления события А, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие :

 

2.3. Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь  при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность появления события А:

Данная формула называется формулой полной вероятности