2.5 Нелинейные волны

Наиболее известными и хорошо исследованными нелинейными уравнениями математической физики являются уравнения, описывающие распространение волн в нелинейных средах [14]. Решениями таких уравнений могут быть ударные волны или солитоны – уединенные волны, обладающие свойствами частиц.

Уравнение Буссинеска:

. (2.44)

Уравнение Кортевега-де Фриза:

. (2.45)

Уравнение синус – Гордона:

. (2.46)

Нелинейное уравнение Шредингера:

. (2.47)

В качестве первого шага при исследовании нелинейных волновых уравнений часто ищут решения в виде стационарных бегущих волн, то есть волн, форма которых не зависит от времени.

Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриса (2.45).

Будем искать решение уравнения (2.45) в виде:

, (2.48)

где ,.

Преобразовав, имеем:

. (2.49)

Введем новую переменную:

. (2.50)

Тогда:

. (2.51)

Получили уравнение осциллятора с потенциальной энергией W. Тогда – седло, точка– центр (рис. 2.6).

Рис. 2.6 – Потенциальная энергия и фазовый портрет уравнения Кортевега-де Фриза в случае стационарных волн

Волны малой амплитуды будут иметь форму близкую к синусоидальной. Волны большой амплитуды сильно нелинейны, их называют кноидальными. Движению по сепаратрисе соответствует уединенная волна – солитон.

Преобразовав уравнение (2.51) получаем:

, (2.52)

где - неполный эллиптический интеграл первого рода.

. (2.53)

Рассмотрим случай малых колебаний вблизи дна потенциальной ямы. Тогда ,,,,. Тогда:

. (2.54)

Получено уравнение гармонической волны (рис. 2.6).

Рассмотрим предельный случай . Тогда,.

. (2.55)

Получено решение в виде солитона – уединенной волны – с амплитудой и шириной(рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Сверху вниз: слабо несинусоидальная волна, кноидальная волна, солитон

2.6 Хаотические колебания

Хаотические колебания – это неупорядоченные движения, которые возникают в совершенно детерминированных нелинейных динамических системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных внешних сил, в том числе и случайных шумов. Представляют собой новый класс движений, который связан часто с состоянием, получившим название странный аттрактор.

Аттрактор Лоренца – это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка вида:

, (2.56)

где - параметры.

В результате численного интегрирования системы (2.56) Лоренц обнаружил, что при ,иу этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий (рис. 2.8), а, с другой стороны, все траектории притягиваются к некоторому сложно устроенному множеству – аттрактору.

Рис. 2.8 – Зависимость координаты одной из траекторий от времени

Зафиксируем в (2.56) ,и будем увеличивать, начиная с нуля. Присистема Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку – начало координат. К ней притягиваются все траектории (рис. 2.9).

Рис. 2.9 – Траектории системы Лоренца

Когда переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки:

,

. (2.57)

У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (рис. 2.10).

Рис. 2.10 – Траектории линеаризованной системы Лоренца

У линеаризованных в точках исистем все собственные значения отрицательны. При возрастании параметрапара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усыG₁ и G₂ нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек и, соответственно (рис. 2.11).

Рис. 2.11 – Траектории системы Лоренца при возрастании

С дальнейшим ростом стационарные точкииподнимаются выше (они лежат в плоскости), а спиралевидные траектории «разбухают». Это происходит до тех пор, пока приспирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории Г₁ и Г₂ (рис. 2.12).

Рис. 2.12 – Гомоклинические траектории системы Лоренца