- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
3.1. Раскрытие неопределенности вида .
Рассмотрим отношение функций . Пусть– бесконечно большие функции (б.б.ф.) при, отношениев этом случае называется неопределенным выражением вида. Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.
Пример 1
,
так как при каждая из дробейстремится к нулю.
Пример 2
.
Пример 3
.
Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен, если степень числителя больше степени знаменателя.
3.2. Раскрытие неопределенности вида
Рассмотрим отношение функций . Пусть– бесконечно малые функции (б.м.ф.) при, отношениев этом случае называется неопределенным выражением вида.
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.
Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример
Вычислить предел .
Решение
При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида. Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни:
,
тогда,
.
Таким образом, получим:
.
3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
Одна из форм записи второго замечательного предела
.
Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .
Пример
Вычислить предел .
Решение
Предел основания , а показатель степенипри, т.е. имеет место неопределенность вида. Выделим целую часть основания степени
и применим второй замечательный предел:
, учитывая, что .
3.4. Непрерывность функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки.
Определение. Функция называетсянепрерывной в точке , если она имеет предел в точке и этот предел равен– значению функциив точке:
.
Таким образом, для того чтобы функция была непрерывна в точке, необходимо и достаточно выполнение трех условий:
функция должна быть определена в точке;
должны существовать пределы функции прикак слева, так и справа, т.е.и;
эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции в точке, т.е..
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке и точкуназываютточкой разрыва функции .
Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.