- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Рассмотрим матрицу специального вида
в которой все «диагональные элементы» отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называтьтрапециевидной. При r = n она будет треугольной.
Теорема 2. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Теорема 3. Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.
Пример 2.
Найти ранг матрицы .
Решение
На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.
Метод Гаусса решения слаУр
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)
Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.
На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.
Пусть дана матрица системы .
Рассмотрим расширенную матрицу системы
.
Теорема Кронекера – Капелли.
СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:
или .
Замечание
Если и, гдеn – число неизвестных, то система определенна; если , то система неопределенна, если же, то система несовместна.
Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.
Выписывают расширенную матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.
Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:
– система совместна и определенна,
– система совместна и неопределенна,
– система несовместна.
Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:
С ,,
следовательно, система определенна, имеет единственное решение,
С ,
следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,
если какая-либо строка матрицы С имеет вид , то система несовместна (решений нет).
Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).
Пример 3.
Исследовать и решить СЛАУр: .
Решение
Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения и .
,
Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.
Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:
.
Таким образом, .
Пример 4.
Исследовать и решить СЛАУр: .
Решение
Так как , следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).
Последней матрице соответствует система:
где и– произвольные параметры.
Пример 5.
Исследовать и решить СЛАУр:
Решение
Так как , то система несовместна (решений нет).
Пример 6.
Исследовать и решить СЛАУр: .
Решение
Таким образом, .
Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Построить треугольник, вершины которого находятся в точках и найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
3) координату точки пересечения медиан;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;
5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
6) площадь треугольника.
Даны вершины треугольной пирамиды ,. Найти:
1) угол между ребрами и;
2) площадь грани ;
3) объем пирамиды ;
4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС;
5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.