![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
Векторные величины (векторы) – это такие величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлением.
Для изображения векторных величин служат геометрические векторы. Геометрический вектор – это направленный отрезок.
Координатами
вектора
в прямоугольной системе координат
называются проекции
вектора
на оси координат. Запись
означает, что вектор
имеет координаты
.
Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле
.
Чтобы
найти координаты вектора, заданного
координатами точек его начала и конца
надо найти разности соответствующих
координат его конца и начала, т.е. если
задан вектор
,
где
,
то
.
Тогда
модуль вектора
находится по формуле
.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.
Обозначают:
()
или
.
По определению
,
где
.
Пусть векторы заданы аналитически:
.
Выражение скалярного произведения через координаты перемноженных векторов:
.
Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле
.
Векторным
произведением
вектора
на вектор
называется вектор, обозначаемый символом
или
,
определяемый условиями:
модуль этого вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е.
;
этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости, определяемой этими векторами;
направлен по перпендикуляру к этой плоскости так, что векторы
и
составляют правую тройку (т.е. если при наблюдении с конца вектора
кратчайший поворот от вектора
к вектору
происходит против часовой стрелки.)
Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях – в этом состоит геометрический смысл модуля векторного произведения:
.
Пусть
даны два вектора
и
.
Выражение векторного произведения
через координаты перемножаемых векторов:
.
Смешанным
произведением трех
векторов
называется число, равное скалярному
произведению вектора
на вектор
,
т.е.
.
Если
векторы
заданы своими прямоугольными координатами
,
то их смешанное произведение вычисляется
по формуле
.
Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на 3-х некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения
.
Тогда объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, находится по формуле
.
Три
точки пространства, не лежащие на одной
прямой, определяют единственную
плоскость. Если
,
три данные точки, не лежащие на одной
прямой, а
произвольная точка плоскости, то
уравнение плоскости, проходящей через
три точки, имеет вид
.
Уравнение
прямой, проходящей через две точки
пространства
имеет вид
.
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле
,
где коэффициенты выбирают из канонических уравнений прямой
и общего уравнения плоскости
,
где
- вектор нормали к плоскости.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
Пример
Даны вершины
треугольной пирамиды
Найти:
1)
угол между ребрами
и
;
2)
площадь грани
;
3)
объем пирамиды
;
4)
длину высоты, опущенной из вершины
на грань
;
5)
угол между ребром
и гранью
;
6)
уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
.
Решение
А4
А2
В А1 А3 Рис. 2 |
1)
Угол между ребрами
найдем координаты векторов
тогда косинус угла между векторами
|
2) Площадь грани
находим с помощью векторного произведения
векторов. Найдем координаты вектора
,
тогда площадь треугольника находим по
формуле
.
Найдем векторное произведение векторов
модуль векторного произведения равен
,
откуда находим площадь треугольника
3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле
,
так как выше найдены координаты векторов
,
подставим координаты векторов в формулу, получим
.
4) Для нахождения
длины высоты h,
опущенной из вершины
на грань
применим формулу
,
откуда находим
5) Общее уравнение
плоскости
:
,
нормальный вектор
плоскости
.
Уравнение высоты
:
.
Условие
перпендикулярности прямой и плоскости:
.
В нашем случае
,
тогда уравнение высоты имеет вид
Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной
Вычислить предел
Вычислить предел
.
Вычислить предел
.
В точках
и
для функции
установить непрерывность или определить характер точек разрыва.
Найти производную функции
.
Найти производную функции
Найти производную функции
, применяя метод логарифмического дифференцирования.
Найти производную функции, заданной неявно:
.
Найти производную функции, заданной параметрически:
.
С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции
.