Курсовая работа Мат. Анализу 1 семестр
.pdf
Вариант 1
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
x50 −50x + 49 |
; б) lim(2x −1)x/(x2 −1) |
|
x100 −100x +99 |
|||
x→1 |
x→1 |
2. Провести исследование и построить график функции: y = 3 x2 (x −5).
4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.
5.Вычислить ) sin x .y(15) функции y =(x2 + x +1
3
6.Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно 1,012 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r ≤625 10−10 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t |
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
x = 2sin |
|
в точке |
|||
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = 2cos3 t |
|||||
|
|
|
= π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
sin y = 7x +3y . |
|
|
|
−cos( |
|
|
2x) |
||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
e−x2 |
|
|
||||||||
|
x4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||
10.Известно, что (ex )′ =ex для всех x . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду?
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
||||
|
а) lim |
5x3 − x −2x |
; б) |
lim (sin x)tg2 x |
|
|
|
||||
|
x→1 |
5 x2 −1 |
x→π 2 |
||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = 3 x3 −3x . |
||||
4. |
На дуге полуокружности |
y = 1 − x2 найти точку, ближайшую к точке (12;5). |
|||
5. |
Вычислить y(20) функции |
y =(x2 − x) ex . |
|||
6.Используя формулу Тейлора 2 −го порядка, вычислить приближенно значение cos610 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую
|
r |
|
1 |
|
π |
3 |
|
|
|||||
оценку: |
≤ |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
180 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x = 3 cost |
в точке |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y =sin t |
|
|
|
|
|
|
= π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
x4 + y4 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
cos2 |
x −e−x2 |
. |
|
||||||
|
|
x4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
10.В формуле Лагранжа определить значение c для функции f (x)= 4x3 −5x2 + x −2 на отрезке [0;2].
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
Вариант 3 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|||
|
а) lim |
ln ((2arccos x)/ π ) |
; б) |
lim (x +1) x+1 |
|
|
|||
|
x→0 |
ln (1 + x) |
x→−1+ |
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y =(x −3) x . |
|||
4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольшую полную поверхность.
5. |
Вычислить y(5) |
функции |
y = e−x sin x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
Используя формулу Тейлора 4 −го порядка, вычислить приближенно значение |
||||||||||||||||||||
|
sin100 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
π |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
оценку: |
≤ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
120 18 |
|
|
|
|
|
t |
cost |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =e |
в точке |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =et sin t |
|
|
||
|
t |
|
=0 и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
|
|
x2 + y2 = e |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2 −sin2 |
x −2cos x |
. |
|||||||||||||||||
|
|
x4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||
10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)=1 − 3 x2 на отрезке [−1;1]?
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
||
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
||||||
|
|
xx −1 |
1/ |
(x−e) |
|||
|
а) lim |
|
|
; б) lim(ln x) |
|
|
|
|
ln x |
|
|
||||
|
x→1 |
x→e |
|
x − 2 |
|||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = |
||||||
x2 +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольший объем.
5. Вычислить y(10) функции y = x log2 x .
6.Используя формулу Тейлора 3 −го порядка, вычислить приближенно значение e и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r ≤1921 .
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2t −t |
2 |
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x |
|
в точке |
||||||||
|
= |
3t −t3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||
|
t |
|
= 2 и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y = x +arctgy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
xex−1 |
− x2 |
. |
|
|
||||||
|
(x −1)2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|||
10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= arctgx и найти c на [0;1].
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 5
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
xarcsin x2 |
; б) lim |
(1 |
x |
)xsin x |
|
x cos x −sin x |
||||||
x→0 |
x→+0 |
|
|
2. Провести исследование и построить график функции: y = 3 (x + 2)2 − 3 (x − 2)2 .
4.На прямой l : y = −2x +1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов
расстояний от неё до двух прямых: l1 : x − y −3 =0 , и l2 : x + y +5 = 0 , была наименьшей.
5. Вычислить y(100) функции y = x2 shx .
6.Используя формулу Тейлора 3 −го порядка, вычислить приближенно значение ln 54 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую
оценку: r ≤10241 .
x =t −sin t
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой
y = 2 −cost
t |
0 |
= π |
и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
2 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ex+y = xy . |
|
|
|
|||
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2cos x + xsin x |
|||||
|
|
|
|
|
x→0 |
x4 |
в точке
−2 .
10.Написать формулу Коши для функций f (x)= x3 и g (x)= x2 , и найти c на отрезке [a;b].
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|||
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
||||||||
|
|
(x +1)ln (1 + x)− x |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||
|
а) lim |
x2 |
|
|
|||||||
|
e |
x |
− x −1 |
; б) lim |
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
x→0 |
x |
x |
|
|||||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = |
|
. |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
x2 −1 |
||||
4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.
5. Вычислить y |
(3) |
функции |
y = |
x2 |
+ x +1 |
в точке x = 0 . |
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
− x +1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
6.Используя формулу Тейлора 3 −го порядка, вычислить приближенно значение ln11 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую
оценку: r ≤ 25 10−6 .
|
|
|
|
|
|
|
x =1 / t |
|
|
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
|
в точке |
|||||||
|
+t2 ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y =1 / (1 |
|
|
||
|
|
|
|
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
= −1 и вычислить y′′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y =tg(x + y) . |
|
|
ln (1 + x)−sin x +0,5x2 |
|||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
||||||||||
|
|
|
|
. |
|||||||
|
x3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|||
10.На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(−1;10) и B(2;−44).
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 7
1.Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) (ln (1 + x)/ (1 − x))−2x ; б) lim (−ln x)xlim
x→0 |
x −sin x |
x→+0 |
2.Провести исследование и построить график функции: y = x2 −1 .
x2 +1
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.
5. Вычислить y |
(7) |
функции y = |
1 + x2 |
. |
|
1 − x2 |
|||
|
|
|
|
6.Используя формулу Тейлора 2 −го порядка, вычислить приближенно значение функции 1,5 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r ≤1281 .
|
|
|
|
|
|
|
= |
t |
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x |
в точке |
|||||||
|
=1 / t −1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
= 2 и вычислить y′′ |
|
|
|
|
|
||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
x3 + y3 =3xy . |
|
x −2 −ln (x −1) |
|
|
|||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
. |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x→2 |
(x −2)2 |
|
||||
10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= x4 3 и найти c на [−1;1].
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|||||
|
|
2tg3x −6tgx |
|
|
2 |
x |
|
а) lim |
|
; б) |
lim |
|
arctgx |
|
3arctgx −arctg3x |
π |
||||
|
x→0 |
|
x→+∞ |
|
||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = 3 x2 e−x . |
|||||
4. |
На дуге полуокружности |
x = 1 − y2 найти точку C , ближайшую к прямой l : |
||||
y=3 − x .
5.Вычислить y(8) функции y = x2e−2 x .
6.Вычислить с помощью формулы Тейлора 3 127 с точностью до 10−3 .
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =sin t |
в точке |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y =1 / cost |
|
t |
0 |
= π |
и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. x + y = ex−y .
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim xsin (x −2)− x2 + 2x .
x→2
10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)= ln sin x на отрезке π 6 ;5π 6 ?
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
Вариант 9 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
||
|
а) lim |
tgx − x |
; б) lim (1 − x)ln x |
|
arcsin x −ln (1 + x) |
||
|
x→0 |
x→1− |
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = xln x . |
||
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
5. |
Вычислить y(9) функции |
( |
) |
cos x . |
|
|
||||
y = 1 − x2 |
|
|
|
|||||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора 4 83 с точностью до 10−3 . |
|
||||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x = 2ln tgt |
в точке |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =tgt +ctgt |
|
|
t |
0 |
= π |
и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
4 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y =3 − xey . |
|
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
xsin x −ex2 +1 |
. |
||
x4 |
|
|||
x→0 |
|
|||
10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)=arcsin x и найти c на [0;1].
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 10
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
tgx − x |
; б) lim |
( |
ln (x +e) |
) |
1 |
|
x3 |
|||||||
ln3 (1 + x) |
|||||||
x→0 |
x→0 |
|
|
2. Провести исследование и построить график функции: y =(x −1)e−x .
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.
5. |
Вычислить y(10) функции |
y = |
1 + x |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора 5 250 с точностью до 10−3 . |
||||||||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =t cost |
в точке |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =t sin t |
|
|
|
|
t |
0 |
= π |
и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y = x −ln y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2xex−1 |
− x3 − x |
. |
|||||||||
|
(x |
−1)3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
||
10. |
Написать формулу Коши для функций f (x)=sin x и g (x)=cos x , и найти c |
|
|
на 0;π |
. |
|
|
2 |
11. |
По графику функции построить график ее первой производной |
|