Курсовая работа Мат. Анализу 1 семестр
.pdf
Вариант 11
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
sin 2x −2x |
; б) lim(π |
2 |
−arctgx) |
1x |
||
x |
2 |
arcsin x |
|
||||
x→0 |
|
x→∞ |
|
|
|||
2. Провести исследование и построить график функции: y = lnxx .
4.На прямой l : y = 2x −1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух точек P1 (1;3) и P2 (5;2) была наименьшей.
5. |
Вычислить y(11) функции |
y = x3 ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора 3 e с точностью до 10−3 . |
|
|
|||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = cost / |
(1 + 2cost |
|||||
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
(1 + 2cost |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =sin t / |
||||||
|
|
|
|
= −π и вычислить y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
точке t |
0 |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
ln y + |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
2xln (1 + x)−2x2 + x3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|||||||||||||||||
|
|
x4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
π |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x ≠ 0, на |
|
|
|||
10. Применима ли теорема Ролля к функции f |
( |
x |
) |
= |
xsin |
x |
[ |
0;1 ? |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
||
Вкаких точках f ′(x)=0 ?
11.По графику функции построить график ее первой производной
)
) в
.
|
|
|
Вариант 12 |
|
|
|
|
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
|||
|
а) lim |
2x4 +3x3 −4x2 −9x −4 |
; б) lim(1 −cos x)x |
|
|
|
|
|
x→−1 |
3x4 +5x3 +3x2 +3x + 2 |
x→0 |
ex |
|
|
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = |
. |
|||||
x +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.
5.Вычислить y(12) функции y =(x −1)2x−1 .
6.Вычислить с помощью формулы Тейлора sin850 с точностью до 10−3 .
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+1 |
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =t |
|
в точке |
|||||
|
|
|
+t +1 |
||||||
|
|
|
|
|
y =t2 |
|
|||
|
t |
|
=1 и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
8. |
arctg(x + y) = x . |
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2xe−(x+1) |
− x3 − x |
. |
|||||
|
(x +1)3 |
||||||||
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|||
10.Доказать, что если x является корнем многочлена P(x) кратности k , то для P′(x) он будет корнем кратности k −1.
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 13
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim ln x − x +1 |
; б) |
lim |
(arcsin x)1 / ln x |
|
x→1 |
x − xx |
|
x→+0 |
|
2. Провести исследование и построить график функции: y = x −ln x .
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.
5. |
Вычислить y(13) функции |
y = |
|
x |
|
, используя формулу Лейбница. |
||||||||||
x2 |
− 4x −12 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора cos720 |
с точностью до 10−3 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =(1 +ln t )/ t |
||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
в |
||||||||||||||
|
+ 2ln t ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =(3 |
/ t |
|||
|
|
t |
|
=1 / e и вычислить y′′ (x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
точке |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
x + |
y = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
x2 −sin2 x |
. |
|
||||||||||||
|
x4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 − x2 |
x→0 |
|
|
|
|
|||
10. В какой точке касательная к параболе |
параллельна хорде, соеди- |
|||||||||||||||
|
няющей точки A(−2;0) |
и B(1;3)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 14
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
x4 + x3 −3x2 −5x −2 |
; б) |
lim |
(ctgx)1 / ln x |
|
x4 + 2x3 −2x −1 |
|||||
x→−1 |
|
x→+0 |
|
2. Провести исследование и построить график функции: y =ex − x .
4.На отрезке прямой между точками A(1;2) и B(5;4) найти такую точку C , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до точки P(2;6) и прямой l :
x− y −5 = 0 , была наименьшей.
5. |
Вычислить y(14) функции |
y =(2x −1) 23x 32 x . |
|
|
|
|
|
|||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора ln1,3с точностью до 10−3 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+t )/ t |
||
|
|
|
|
|
|
|
x =(1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
|
|
в |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y =3 / (2t2 ) |
+ 2 / t |
||
|
точке t |
|
= −4 и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
8. |
y = x +ln y . |
|
|
ln (1 + x) |
|
|
|
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
− xex |
. |
|||||||
|
x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)=1 − x на отрезке [−1;1]?
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 15
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
ln 1 −cos x |
) |
|
sin x |
x−3 |
|
а) lim |
( |
; б) lim |
|
|||
|
|
|
|
|
||
ln (tgx) |
|
|
||||
x→0+ |
|
x→+0 |
|
x |
|
|
2. Провести исследование и построить график функции: y = x + e−x .
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
5. |
Вычислить y(15) функции |
y =(3 − 2x)2 e2−3x . |
|
|
|
|
||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора arctg0,8 с точностью до 10−3 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =cos |
|
в точке |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y =tg2t |
|
|
|
|
|
|
= π |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ye−y = ex+1 .
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
ln (1 + x)−e−x −1 |
. |
||
x3 |
|
|||
x→0 |
|
|||
10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= ln x и найти c на [1;2].
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
||||
|
а) lim |
|
3 +ln x |
; б) lim(4 − x)tg (πx / 6) |
|
|
|
|
|
|
−3ln sin x |
|
|
|
|||
|
x→0+ 2 |
x→3 |
ex |
|
|
|||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = |
. |
||||||
ex −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.
5. |
Вычислить y(16) функции |
y = xlog2 (1 −3x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора число e с точностью до 10−7 . |
|
|||||||||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =t sin t +cost |
в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y =sin t −t cost |
|
||||||
|
точке t |
0 |
= π и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y = e y . |
|
|
|
1 −(1 + x2 )cos 2x |
|
|
||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
. |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
( |
+ x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Написать формулу Коши для функций f (x)= x2 + 2 и g (x)= x3 −1, и найти c
на [1;2].
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1/ x2 |
|
|
|
|
а) limsin x ln ctgx ; б) lim(cos x) |
|
|
|
||||
|
|
|
x→0 |
x→0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y =(x + 2)e−x . |
|
||||||
4. |
На прямой l : y =3x + 2 , найти такую точку C , чтобы сумма квадратов |
|||||||
|
расстояний от неё до прямой l1 : x + y +1 = 0 , и точки |
P2 (6;3) |
была |
|
||||
|
наименьшей. |
|
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить y(17) |
функции y =ln (x −1)2 x . |
|
|
|
|||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора: 10 с точностью до 10−3 . |
|
||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =t +sin t |
в точке |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y = 2 +cost |
|
|
|
t |
0 |
= π и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ln x2 +e2 =e2 y . |
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim 2 |
1 + x −2 − x . |
|
|||||
|
|
|
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
10.На интервалах (−1;1) и (1;2) найти точки, в которых касательная к графику функции f (x)=(x2 −1)(x −2) горизонтальна.
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 18
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
ln(1−x) |
|
а) lim xln |
|
arctgx |
; б) |
lim |
|
|
|
|
|||||||
x→∞ |
π |
|
|
x→+0 |
x |
|
|
2. Провести исследование и построить график функции: y = xx .
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.
5. |
Вычислить y(18) функции |
y = xln |
3 + x |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − x |
|
|
|
|
|
||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора: sin10 с точностью до 10−6 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x = ln (1 +t |
|
|||||||||||||
|
=t −arctgt |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
=1 |
и вычислить y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
|
x − y |
|
= x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x + y |
|
|
|
|
ln x −(x −1)ex−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|||||||||||||||
|
2 |
(x −1)3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|||
в точке
.
10.Доказать, что функция f ′′(x), где f (x)=(x −4)2 (x + 2)2 , имеет на промежутке [−2;4] два корня.
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
Вариант 19 |
|
|
|
|
|
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
|
||
|
а) |
xlim→+∞ x(π −2arcsin (x / x2 +1)); б) limx→0 (sin 2x)1/lnsin x |
|
|
|
|
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: |
y = arcsin |
|
4x |
. |
||
4 |
+ x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.
5. |
Вычислить y(19) функции |
y = xln (x2 −3x + 2). |
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора: cos50 с точностью до 10−5 . |
|
|
|||||||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =cos 2t |
|
в точке |
||||||||||
|
2 / cos2 t |
|||||||||||||
|
|
|
= π и вычислить y′′ |
|
|
|
y = |
|
|
|||||
|
t |
0 |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y2 = 2 + 2 px . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: |
lim |
2xex+2 |
− x3 −6x2 −10x |
. |
|||||||||
|
(x + 2) |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Написать формулу Коши для функций f (x)= x2 |
и g (x)= |
x , и найти c на |
||||||||||||
|
[ |
|
] |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|||||
|
|
1 |
− |
1 |
|
lim (1 + x)ln x |
|
а) lim |
; б) |
||||
|
|
2 |
||||
|
x→0 xarctgx |
|
x |
|
x→+0 |
|
2. |
Провести исследование и построить график функции y = 3 x − ln (1 + 3 x ). |
|||||
4.На окружности x2 + y2 −4x −6 y +12 = 0 найти такую точку C , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух точек A(6;1) и B(5;5) была наименьшей.
5. |
Вычислить y(20) функции |
y = x3 cos x . |
|
|
|
|||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора: 3 30 с точностью до 10−4 . |
|
||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =(1 +t2 )/ (t2 −1) |
в |
|||||
|
−1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
y =t / (t2 |
|
|
|
|
|
= 2 и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
точке t |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
8.(x + y)2 = 6(x − y) .
9.Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim 2 −cos2 x + 2sin x .
π2 (x +π 2 )4
10. Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= x3 и найти c на отрезке
[a;b].
11.По графику функции построить график ее первой производной