Курсовая работа Мат. Анализу 1 семестр
.pdf
Вариант 21
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) |
lim |
(2x −π)2 |
|
(1 + x)1 x 1 x |
|||
|
2 |
|
; б) lim |
|
|||
|
x→π |
2 cos |
x |
|
e |
||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
2. Провести исследование и построить график функции y = xarctgx .
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
5. |
Вычислить y(21) функции y = 2xcos2 (x / 3). |
|
|
|
|
|||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора: lg11 с точностью до 10−4 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x = e |
в точке |
|||||||
|
||||||||||
|
t |
|
=0 и вычислить y′′ |
(x ). |
y =arcsin t |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
||
8. |
x2 − y2 =π2 . |
|
ln (1 − x2 )+ x2e−x2 |
|
||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
. |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
x3 |
|
|
||
10. Будет ли выполняться теорема Ролля для функции y = 3 8x − x2 |
на отрезке |
|||||||||
|
[0;8]. |
|
|
|
|
|
|
|||
11. По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
Вариант 22 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|||
|
|
1 |
|
|
|
а) lim x3 ln2 x ; б) |
lim x |
ln(shx) |
|
|
x→+0 |
x→0+ |
||
2. |
Провести исследование и построить график функции y = ln (x + x2 +1). |
|||
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.
5.Вычислить y(22) функции y =(x2 + x)cos2 x .
6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность
|
|
|
|
n |
x |
k |
|
|
|
|
|
|
приближенной формулы: ex ≈ ∑ |
|
,0 ≤ x ≤1. |
|
|
|
|
|
|||||
k! |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = cost |
|
|
|
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
|
|
в точке |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =sin4 (t / 2) |
|
||
|
|
= π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. y −0.5sin y = x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
ex2 |
−1 − xsin x |
. |
|
||||||||
|
|
x4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
10.В какой точке касательная к параболе y = x2 параллельна хорде, соединяющей точки A(−1;1) и B(3;9)?
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 23
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
|
1 |
|
arctgx |
|
|
(3x |
2 |
|
x |
) |
1 x |
|||
а) lim |
|
|
− |
|
4 |
|
; б) |
lim |
|
+3 |
|
|
|||
|
3 |
x |
|
|
|
||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
||
1
2. Провести исследование и построить график функции y =(x − 2)ex .
4.На правой ветви гиперболы y =12x , x > 0 , найти точку C , ближайшую к прямой l : 3x + 4 y +16 = 0 .
5. |
Вычислить y(23) функции y = |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
−5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность |
|||||||||||||||||||||
|
приближенной формулы: sin x ≈ x − |
x3 |
+ |
x5 |
, |
|
x |
|
≤1. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3! |
|
5! |
|
|
|
|
x = arctgt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|||||||||||||||||||||
|
в точке |
|||||||||||||||||||||
|
t |
|
=1 и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =t2 |
/ 2 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. ex −ey = y − x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (1 − x) |
|
|
|||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: |
|
+ xe−x |
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
||
10.Проверить, что между корнями функции f (x) = x2 −4x +3 находится корень
еепроизводной. Пояснить графически.
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 24
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
arctg (x −1) |
; б) lim |
(π −2x)cos x |
|
|||
x→1+ x2 + x −2 |
x→π 2− |
|
|
− 1
2. Провести исследование и построить график функции y = xe x2 .
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.
5. |
Вычислить y |
(24) |
функции |
y = |
|
x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
приближенной формулы: |
cos x ≈1 − |
x2 |
+ |
x4 |
− |
x6 |
, |
|
x |
|
≤ 0,5 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
4! |
6! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =tgt |
в точке |
||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1 / sin 2t |
|
|
|
|
t |
0 |
= π и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y ln y = x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex −ln (1 + x)2 |
−e−x |
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
на [−1;2]. |
|||||
10. Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= x3 −5 и найти c |
||||||||||||||||||||||||||
11. По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
Вариант 25 |
|
|
|
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
||||
|
а) lim arcsin x −arctgx |
; б) lim (tgx)cos x |
|
|
|||
|
( |
+ x2 |
) |
x→π 2− |
|
|
|
|
x→0 ln 1 |
|
|
|
|||
2. |
Провести исследование и построить график функции y = ln (x2 −1)+ |
|
1 |
. |
|||
x2 |
−1 |
||||||
4.Найти радиус основания R и высоту H прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольший объем.
|
Вычислить y |
(3) |
|
|
|
x/2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
функции |
y =e |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
приближенной формулы: |
tgx ≈ x + |
x3 |
, |
|
x |
|
≤0,1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
x =cost +sin t |
в точке |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =sin 2t |
|
|
|
|
|
t |
0 |
= π и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y = cos(x + y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (1 −2x)+ 2x2 |
|
|
|
|||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
+sin 2x |
||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||
10.На кривой y = x3 найти точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(−1;−1) и B(2,8).
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 26
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
|
1 |
− |
|
|
1 |
|
|
; б) lim xx |
а) lim |
|
|
|
|
|||||
|
e |
x |
−1 |
||||||
x→0 |
tgx |
|
|
|
x→+0 |
||||
2. Провести исследование и построить график функции y = lnxx .
4.На отрезке прямой между точками A(2;1) и B(4;5) найти такую точку C ,
чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух прямых: l1 : 4x − y −8 = 0 , и l2 : x + y −10 = 0 , была наименьшей.
5. |
Вычислить y(3) функции y =e2 x sin2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность |
|
|
|||||||||||||||
|
приближенной формулы: ln (1 + x)≈ x − |
x2 |
+ |
x3 |
− |
x4 |
, |
|
x |
|
≤ 0,1. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
x =t |
в точке |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
t |
|
=π и вычислить y′′ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =sin t |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. x2 −3xy + y2 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
|
ex −1 − x |
|
. |
||||||||||||
|
|
1 − x −cos |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|||||||
10. Написать формулу Коши для функций |
f (x)= x2 −2x +3 и |
|
|
|||||||||||||||
|
|
g (x)= x3 −7x2 + 20x −5 , и найти c на [1;4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 27
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
|
2 |
|
|
1 |
; б) lim x |
(ln 3)/ (1 − x) |
||
а) lim |
|
|
|
− |
|
|
|
||
|
2 |
x |
|
|
|||||
x→0 |
sin |
|
|
1 −cos x |
x→1 |
|
|||
2. Провести исследование и построить график функции y =
x .
3 x2 −1
4.Найти основание a и боковую сторону b равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольший периметр.
5. |
Вычислить y(4) функции |
y = x2 sin2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность |
|
|||||||||||
|
приближенной формулы: |
1 + x ≈1 + |
x |
− |
x2 |
+ |
|
x3 |
,0 ≤ x ≤ 0,2 . |
|
|
|
|
|
2 |
8 |
16 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x = |
в точке t0 |
= 26 |
|||||||||
|
t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ивычислить y′′xx (x0 ).
8.ey = 4x −7 y .
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
xcos x −arctgx |
. |
||
|
||||
( |
3 |
) |
|
|
x→0 |
ln 1 − x |
|
10. Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= 3x3 +3x и найти c на
[0;1].
11. По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 28
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
π |
( |
tgx + 2 / |
( |
2x −π |
)) |
π |
( |
cos x |
) |
− ln(π−2x) −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) lim |
|
|
|
; б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ |
2 |
|
|
|
|
|
x→ 2− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Провести исследование и построить график функции |
y = |
18 |
(x + 2)2 |
. |
|||||||||||||
|
|
x3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найти основание a и боковую сторону b равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольшую площадь.
5. |
Вычислить y |
(28) |
функции |
y = |
3 − 2x2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
2x2 |
+ 3x |
− |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность |
||||||||||||||
|
приближенной формулы: |
1 − x ≈ |
1 − |
x |
− |
|
x2 |
− |
|
x3 |
,0 ≤ x ≤ 0,2 . |
||||
|
2 |
8 |
16 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.Составить уравнения касательной и нормали к кривой и вычислить y′′xx (x0 ).
8.x − y = ex+y .
9.Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim
x→0
|
−t |
|
x = 2 |
|
в точке t0 =1 |
|
|
|
y = 22t |
|
|
|
|
|
1 + 2tgx −ex + x2 |
. |
|
arcsin x −sin x |
||
|
10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)= 3 x2 −3x +2 на отрезке [1;2]? Если да, то найти c .
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 29
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
(π −2arctgx) ln x |
; б) lim |
|
1 |
−1 / 1 −ln x |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|||||
x→+∞ |
|
x→+0 |
x |
|
|
|
2. Провести исследование и построить график функции y = 2 − x .
4. |
На правой ветви квадратичной гиперболы y = |
4 2 |
, x > 0 , найти точку C , |
|
x2 |
||||
|
ближайшую к началу координат. |
|
||
|
|
|
||
5. |
Вычислить y(3) функции y = x28 ln x . |
|
|
6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: ctgx ≈1 −2 x − π + 2 x − π 2 , π ≤ x ≤ π .
4 4 4 2
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =sin 2t |
в точке |
||||||
|
|
||||||||
|
t |
|
=0 и вычислить y′′ |
(x ). |
y =et |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
8. |
3 |
x + 3 y = 3 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
1 +2x3 |
−cos x4 |
|||||
9. |
|
|
|
|
. |
||||
|
tgx |
− x |
|
||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||
10.В какой точке касательная к кривой y =ln x параллельна хорде соединяющей точки A(1;0) и B(e;1)?
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 30 |
|
|
|
|
|
|
||
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
lim |
(π / 2)−arctgx |
|
; б) lim |
1 + x |
2 |
|
−1 / ln x |
|
|
|
|||||||
( |
) |
|
(( |
) |
( |
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ln |
x |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→+∞ |
1 / 2 |
|
|
x −1 / |
|
+1 |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Провести исследование и построить график функции |
y = |
4x3 |
+3x2 −8x −2 |
. |
||||||||||||||
|
2 −3x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти радиус основания R и высоту H прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольшую полную поверхность.
5. |
Вычислить y(3) функции |
y = x20ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность |
|
||||||||||
|
приближенной формулы: |
arcsin x ≈ x + |
x3 |
, 0 ≤ x ≤ 0,5 . |
|
|
|
|
||||
|
6 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t |
2 |
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x =1 |
|
в точке |
||||||||
|
−t3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =t |
|
||
|
t |
|
= 2 и вычислить y′′ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
3x −5 = y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
x |
1 +sin x +ln (1 − x) |
|||||||||
|
tgx −sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|||||
10.Удовлетворяют ли функции f (x)=ex и g (x)= x2 / (1 + x2 ) условиям теоремы Коши на отрезке [−3;3]?
11.По графику функции построить график ее первой производной