- •Двойной интеграл. Задача об объеме цилиндрического тела.
- •Вычисление двойного интеграла.
- •Свойства двойного интеграла.
- •Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.
- •Двойной интеграл в полярных координатах.
- •Тройной интеграл.
- •Теорема существования.
- •Вычисление тройного интеграла.
- •Вычисление объема с помощью тройного интеграла.
- •Криволинейный интеграл по координатам.
- •Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Двойной интеграл. Задача об объеме цилиндрического тела.
z Рассмотрим тело, ограниченное
поверхностью z = f(x,y), цилиндрической
поверхностью с образующими,
параллельными оси oz и частью плоскости
f(Pi) xy (областью (D)). Такое тело называется
цилиндрическим (f(x,y) > 0).
у
x
∆σi Pi(ξi,ηi) (D)
Разобьем область (D) произвольным образом на n ячеек. Через границу каждой ячейки проведем цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси oz и рассмотрим произведение f( Pi)∆σi = f(ξi , ηi)∙∆σi , где ∆σi - площадь ячейки.
Геометрически это произведение дает объем цилиндра основанием ∆σi и высотой f(Pi). Составим сумму
(*)
Эта сумма тем точнее характеризует истинный объем цилиндрического тела, чем меньше ∆σi. Поэтому за объем цилиндрического тела принимаем предел
(λ – наибольшая из хорд, стягивающих границы ячеек).
Если этот предел существует, если он не зависит от способа разбиения области (D) на частичные области и от выбора точек Pi, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области (D).
Очевидно,
Теорема существования.
Если функция f(x,y) непрерывна в области (D), то существует двойной интеграл от этой функции по области (D).
Вычисление двойного интеграла.
Вычислим , пользуясь тем, что Фиксируем x и проводим плоскость, перпендикулярную к оси ох.
Q(x) =. Тогда
y y = φ2(x) z z = f(x,y)
a x b x a y
y = φ1(x) x
b
y = φ2(x)
y = φ1(x)
Пусть область (D) – правильная в направлении оси ox. Аналогично
y
b
x = φ1(y) x = φ2(y)
x
a
x
.
П р и м е р 1 . Вычислить где (D) область, ограниченная линиями y = x2 и x = y2. y y = x2
y x = y2
x = y2
y = x2 y
y = x2
x
x x
x = y2
П р и м е р 2. Изменить порядок интегрирования
y
y = 2 2
y =
-4 x x 4 x
П р и м е р 3. Изменить порядок интегрирования.
5
1 y = x - 1
2 x 3
Свойства двойного интеграла.
-
Двойной интеграл суммы равен сумме двойных интегралов.
-
Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла.
-
Если область (D) разбита на две области (D1) и (D2) без общих внутренних точек, то
(D1) (D2)
П р и м е р . Свести двойной интеграл к двукратному.
(D): x = 2, y = x, xy = 1.
y
y = x 2
y = 1/x x = y
y x = 2
1 x 2 x 1
y x = 2
0.5 2 x
x = 1/y