вдоль диаметра линзы (рис. 229). Ход лучей, проходящих
через эти отв~рстия, можно проследить, если слегка зады
мить воздух за линзой. Мы обнаружим, что лучи, проходя
щие через отверстия, расположеыные на раз л и ч н о м
1
о
~~~gЕ3-Е~~~
5)
Рис. 228. Экспериментальное изучение сферической аберрации: а) лин
за, ка которую падает широкий пучок, дает расплывчатое изображение; б) центральная зона линзы дает хорошее резкое изображение
расстоянии от центра линзы, пересекаются в раз н ы х точках: чем дальше от оси линзы выходит луч, тем сильнее
Рис. 229. Экран с
отвеРСТИЯIIIИ для
изучения сферичес-
кой аберрации
он преломляется и тем ближе к линзе
находится точка его пересечения с осью
(рис. 230).
Таким образом, наши опыты показы
вают, что лучи, |
проходящие через от |
дельные |
з о н ы |
л и нз ы, расположен |
ные на |
раз н ы х р а с с т о я н и я х |
о т о с и, дают изображения источника,
лежащие на |
раз н ы х |
р а с с т о я |
н и я х о т |
л и н з Ы. При д а н н о м |
п о л о ж е н и и экрана |
разные зоны |
линзы дадут на нем: одни - более рез
кие, другие - более расплывчатые изоб
ражения источника, которые сольются Б светлый кружок.
В результате линза большогодиаметра дает изображение 11WЧечного источника не в виде точки, а в виде расплывчатого
светлого пятнышка,
Итак, при использовании ш и р о к и х световых пуч
IIOB мы не получаем точечного изображения даже в том слу
чае, когда источник расположен на главной оси. Эта погреш
ность оптических систем называется сферической а6еррациеЙ.
Рис. 230. Возникновение сферической аберрации. Лучи, выходящие
из линзы на разной высоте над осью, дают изображения точки S в раз
ных точках S'. S", S'"
Для простых отрицательных линз благодаря сфериче
ской аберрации фокусное расстояние лучей, проходящих
через центральную зону линзы, также будет более значи
тельным. чем для лучей. проходящих через периферическую зону. Другими словами, параллельный пучок, проходя
через центральную зону рассеивающей линзы, становится
/
~--
11)
рис. 231. Сферическая аберрация: а) в собирающей линзе; б) в рассеи
вающей линзе
м е н е е расходящимся. чем пучок, идущий через наруж ные зоны. Заставив свет после собирающей линзы пройти
через рассеивающую. мы у в е л и ч и м фокусное расстоя
ние. Эго увеличение будет, однако, м е н е е значительным
для центральных лучей, чем для лучей периферических
(рис. 231).
Таким образом, более длинное фокусное расстояние со бирающей линзы, соответствующее центральным лучам, увеличится в меньшей степени, чем более короткое фокусное расстояние периферических лучей. Следовательно, рассеи
вающая линза благодаря своей сферической аберрации
Рис. 232. Исправ.1ение сферической аберрации путем комбинирования собирающей и рассеивающей динз
в ы р а в н и в а е т различие фокусных расстояний цент
ральных и периферических лучей, обусловленное сфериче ской аберрацией собирающей линзы. Правильно рассчитав
комбинацию собирающей и рассеиваю
щей линз, мы можем CTOJib полно осу
ществить это выравнивание, что сфери
ческая аберрация системы из двух линз
будет практически сведена к НУJIЮ (рис.
|
232). |
Обычно обе простые линзы склеи |
Рис. 233. Склеен |
ваются (рис. 233). |
|
ный астрономичес |
Из сказанного видно, что уничтоже |
кий объектив, ис |
ние сферической аберрации |
осуществля |
правленный на сфе |
ется |
КО~1бинацией двух частей системы, |
рическую аберра- |
сферические аберрации которых взаим |
цию |
|
но |
к о м п е н с и р у ю т |
друг друга. |
Аналогичным образом мы поступаем и при исправлении
других недостатков системы.
Примером оптической системы с устраненной сферической абер рацией могут служить аСТРОНО1IИческие объективы. Если звезда нахо дится на оси объектива, то ее изображение практически не искажено аберрацией, хотя диаметр объектива может достигать нескольких де
сятков сантиметров.
§ 105. Астигматизм. Эта погрешность оптических систем
проявляется в тех случаях, когда желают получить изобра
жение точки, находящейся на значительном расстоянии от главной оси системы, точнее, при использовании свето
вых пучков, составляющих 3 н а ч и т е л ь н ы й у г о л
с r л а в н о й о сью |
(к О с ы е |
п у ч к и). Важно отме |
ТИТЬ, что астигматизм |
остается |
даже при использовании |
узких световых пучков, а также может сохраняться в сис
темах, освобожденных от сферической аберрации.
Для наблюдения астигматизма выделим с помощью при
крывающего линзу картонного экрана с небольшим отвер стием узкий пучок лучей и расположим источник так, чтобы
он находился на побочной оси, составляющей с главной осью
угол 30-400. Мы обнаружим, что изображение светящейся
точки на экране 4 (см. рис. 228) станет весьма расплывча тым и будет иметь неправильную фОРJl1У. Если мы начнем
Рис. 234. Астигматизм линзы: изображения точки, лежащей на побоч
ной оси, представляют собой две взаимно перпендикулярные линии,
лежащие в разных плоскостях.
медленно передвигать экран относительно линзы, то найдем,
что имеются два положения экрана (/ и [[ на рис. 234), в которых изображение довольно резкое. Однако, в от
личие от того случая, когда источник находился на главной
оси линзы, изображение в указанных двух ПОJIOжениях
экрана имеет вид не точки, а о т рез к а п р я м о й.
Направление отрезка в положении направлению отрезка в положении
перпендикулярно к Во всех остальных
положениях экрана изображение расплывчатое, овальное
или круглое.
Таким образом, даже наилучшее изображение точки, не лежащей на главной оси линзы, представляет собой не
точку, а две взаимно перпендикулярные и находящиеся в
разных местах линии. Это и есть та погрешность оптиче
ских систем, которая носит название астигматизма.
Для исправления астигматизма приходится строить
сложные оптические системы, состоящие из нескольких ча
стей, подобранных спеuиальным образом так, чтобы они взаимно компенсировали астигматизм, обусловленный каж дой из них. Системы с исправленным астигматизмом назы-
ваются анастигматами *). Современные фотографические
объективы, исправленные в отношении астигматизма, дают
хорошее изображение при углах до 50-700.
§ 106. Хроматическая аберрация. Поставим на пути све
товых лучей, выходящих из линзы 1, один раз красное стек
ло (пропускающее только красные лучи), другой раз синее
стекло (пропускающее синие лучи). С помощью передвиж
ного экрана 2 (рис. 235) мы обнаружим, что изображения,
1 2
Рис. 235. Хроматическая аберрация: изображение точки S в синих
лучах S~ не совпадает с изображением в красных лучах S~. Рисунок
имеет цветной дубликат (см. форзац)
образуемые лучами разного цвета, находятся в разных точках: S~ (красное) дальше от линзы, чем S~ (синее).
Если же оставить экран в том месте, где образуется резкое
изображение, например синими лучами, то в красном свете мы получим на экране расплывчатое пятнышко. Вследствие
этого при использовании белого света (содержащего лучи всех цветов) изображение, даваемое линзой, оказывается обычно окрашенным (окаймленным цветными кружками
и т. п.). Описанное явление носит название хроматической аберрации.
Эта погрешность возникает вследствие того, что показа тель преломления зависит от длины волны света (дисперсия; см. § 83). Из-за этого и фокусное расстояние линзы, ко
торое согласно формуле (88~9) зависит от показателя пре
ломления, будет различным для лучей различного цвета.
В результате изображения точки S для лучей различ
ного цвета будут находиться на разных расстояниях от
линзы.
Расстояние между точками S~ и S~ зависит от сорта стекла, из которого сделана линза: оно больше для той лин-
*) Частица |
а перед словом |
означает отрицание: |
а с т и г м а |
т и з м - н е т о q е ч н о с т ь |
изображения; ана - двойное отрица |
ние (вместо аа) |
а н а с т и г м а т и 3 М - неастигматизм, |
т, е. т о ч е ц |
н о с т ь изображения.
зы, которая сделана из стекла с большей дисперсией *) (если
сравниваемые линзы имеют одинаковое фокусное расстояние
для лучей какого-либо цвета). Это обстоятельство использу
ется для устранения хроматической аберрации линз следу
ющим образом. К двояковыпуклой линзе из стекла с малой
дисперсией приклеива
ется соответствующим
образом рассчитанная
рассеивающая линза из
стекла с большой дис
персией (рис. 236). до
бавочная линза удлиня Рис. 236. Исправ.1ение хроматической
ет фокусные расстояния |
аберрации. Рисунок имеет Цветной дуб |
|
ЛlIкат (01. форзац). |
первой линзы (см. § 104), |
причем фокусное рассто- |
|
яние синих лучей, сильнее преломляемых, увеличивается
в большей степени, чем фокусное расстояние красных лу
чей, слабее преломляемых. Расчет в простейшем случае
ведется |
таким |
образом, |
чтобы фокус красных лучей p~ |
и фокус |
синих |
лучей p~ |
попали в одну и ту же точку Р'. |
Соединившись |
в одном месте, изображения разных цветов |
дадут практически белую точку, т. е. хроматическая абер
рация будет устранена.
Линзы с устраненной описанным способом хроматической аберра цией называются ахро,\tamuческuмu линзами. Применяются также систе мы, где соединены фокусы для трех сортов лучей,- аnОХРОАщты. Такие
апохроматические системы используются, например, в микроскопии.
§ 107. Ограничение пучков в оптических системах. Изучая
оптические системы, мы до сих пор оставляли в стороне
одно важное обстоятельство - ограниченность размеров
линз (или зеркал), образующих системы. Оправданием этому служило то, что для построения изображения не требуется
знать реальный ход всех лучей в системе; например, для построения изображения точки достаточно построить два луча, которые, вообще говоря, могут в действительности и не
проходить через прибор (см. рис. 216).
Вследствие ограниченного размера любой оптической системы б6льшая часть лучей, выходящих из светящегося
объекта по всем направлениям, проходит мимо системы и не
может участвовать в образовании изображения. Всякая
преграда, ограничивающая проходящие через оптическую
систему лучи, называется диафрагмой. В случае простой
*) То есть из стекла с I10казателем преломления, сильнее меняющим
ея с изменением длины·волны падающеFО света,
линзы диафрагмой служит обычно ее оправа. Однако можно
часть линзы закрыть, например, поставив перед ней лист
картона, в котороы вырезано отверстие; в ЭТОМ случае дна
фрагr-.юЙ служит данное отверстие в картоне. При ЭТОМ надо
иметь в виду, ЧТО .1 Ю б а я ч а с т ь л и н з ы (если |
она |
достаточно хорошо исправлена *)) о б раз у е т т о |
ж е |
изображение, что и вся линза; ПОЭТОМУ на
личие диафрагыы не ыеН51ет ни раз 111 |
е р а, ни |
в и Д а |
изображения; |
ТОЛЫ(Q освещенность ЭТОГО |
изо |
б Р а ж е н и я |
с о о т в е т с т в е н н о |
у 111 е н ь ш а е т |
е я, ибо Уlllеньшается световой поток, |
ПРОПУСJ(ае~IЫЙ ПрIf |
на.1ИЧIШ диафрагмы. Можно, например, закрыть половину |
линзы кускm! |
картона - изображение |
останется Te~! же, |
но освещенность его в ЭТО~I с.1учае уменьшится в два раза,
так как в образовании изображения будет участвовать
ТО.1ЬКО половина пучка.
Такю! обраЗО:-I, доlЯ хорошо испраВ,lешюй СИСТС~IЫ рО.1Ь
диафраГ?lIЫ прежде всего сводится к ИЗ\IеIIеНIIЮ светового
потока, участвующего в образовании изображения. JJJафраг
ма опреде,lяет |
также nО,lе зрения прибора, т. |
е. ~la](CIJ\!a,'lb |
н ую часть объекта, изображение |
которого |
\lOжет дать |
прибор. ЗначеНlIе диафраОIЫ Д,lЯ ПО,lучения |
изображений |
протяженных |
преД:lIетов (глубины |
фОКУСИРОВКИ) \Ib! не |
будем рассматривать; о влиянии диафраПIЫ на разрешаю
щую способность оптических приборов C\I. в r:I. Х IV.
§ 108. Светосила линзы. Найдем, КШ{ зависит освещенность
изображения, даваемого линзой, от ве,lИЧИН, характе
РИЗУЮЩIIХ линзу,- от ее диаметра и фокусного расстояния.
Освещенность изображеНI!Я Е опреде:!яется отношением
светового потока Ф к поверхности изображения и', т. е.
Е=фj(J'. При з а Д а н н о ,1 r а с с т о я II И И а от
источника до линзы световой ПОТОI\, поступающий от источ
ника ч е рез л II Н З у к изображеНI!Ю, пропорционален
площади линзы, т. е. пропорщюнаЛtн с1", где с1 - диаметр линзы или дпафрагмы, прикрывающсii ЛIIНЗУ. Площадь
изображения прямо пропорпlIоналы!a квадрату расстояния
а' изображения от линзы; если же источник находится да
леко от линзы, то изображение находится вблизи фокаль ной плоскости и площадь изображения ПРОIIорпиональна квадрату фокусного расстояния t2 • Тзюш обраЗОI\l, в дaHHO~l
случае освещенность изображения пропорпиопальна (d/t)2.
*) То есть устранены погрешности, указанные выше,
Действительно, пусть около точки S (рис. 237) помещается пло
щадка о и около точки S' - ее изображение о'. Пользуясь формулой
увеличения линзы, находим: а'/а=а'2/а2. Далее по формуле линзы
1 |
I |
I |
а' |
f |
расстояние а от |
источника до |
-+-, = -1 |
или -=--1' Если |
а |
а |
|
а |
а- |
|
|
линзы гораздо больше " |
то в знаменателе правой части |
можно пренеб |
речь 1 по сравнению с а, |
и тогда а' r::::f. |
а а' пропорциона.~ьна 12. |
Итак, освещенность изображения, даваемого линзой, nроnорциональна квадрату ее диаметра и обратно nроnор
цuональна квадрату ее фокусного расстояния. Величина
~sl~~sr.'
] |
|
I |
|
I |
I |
rJ |
I |
а' |
I |
I |
I |
I |
1" |
|
.. 10( |
|
.. 1 |
Рис. 237. К выводу формуды для освещенности изображения, даваемо
го линзой
(d/f)2 называется светосилой линзы. Эта величина характе
ризует свойства линзы в отношении освещенности давае мых ею изображений. Нередко для характеристики линзы
вместо светосилы (d/f)2 пользуются величиной d/f, именуе
мой относительным отверстие,,;!.
Мы видим, что освещенность изображения уменьшается
при ограничении светового пучка, вступающего в линзу.
Это относится ко всякому оптическому прибору. Но в то
же время качество изображения при ограничении пучка
у л у ч ш а е т с я.
Таким образом, хорошее к а ч е с т в о и з о б Р а ж е
н и я трудно сочетать с большой с в е т о с и л ой при·
б о Р а.
Практически приходится идти на некоторый КОl\ШРОМИСС
и допускать некоторую потерю в светосиле ДЛЯ получения
надлежащего качества изображения и, наоборот, МИРИТЬСЯ
с ухудшение,,! качества изображения для получения доста
точной его освещенности.
В совреыенных оптических приборах удается в извест
ных пределах сочетать большую светосилу с хорошим ка
чеством изображения за счет использования I\IНОГОЛИНЗОВЫХ оптических систе~!. В подобных системах аберрации, вноси мые одними ulШlзалlИ, КОl\шенсируJOТСЯ аберрациЯ!.ли дру гих .'1инз. Простейшие примеры исправления оптических
Систем мы ПРИВОДII.lИ, говоря О сферической и хроматичес-
кой аберраuиях и об астигматизме. Следует отметить, что
расчет сложных оптических систем представляет БОЛьшие
трудности, требует значительного искусства и затраты дли
тельного времени.
§ 109. Яркость изображения. В предыдущем параграфе
мы видели, что о с в е Щ е н н о с т ь И з О б Р а ж е н и я
протяженного предмета повышается с увеличение~! диаметра
линзы и с уменьшением ее фокусного расстояння. Могло бы
показаться, что этим путем ~lOжно повысить также
я р к о с т ъ и з о б Р а ж е Il и я протяженного пред:-.rета
и ПО"1УЧ!!ТЬ изображения, например, более яркие, чем сам
источник. Однако п о Д о б н о е з а к л ю ч е н и е о к а
з ы в а е т с я о ш и б о ч н ы м.
Внаилучшем случае яркость изображения может до
стигнуть яркости источника; это имеет место при отсутст вии потерь, происходящих за счет частичного поглощения
света в линзах и частичного отражения его поверхностями
линз. При наличии потерь света в системе яркость изобра
жения протяженного объекта всегда меньше яркости СШ1Ого объекта. Получить яркость изображения протяженного
объекта, большую чем яркость источника, нельзя никакими
оптическими приборами.
Невозможность увеличить яркость изображения с по
мощью оптической системы становится понятной, если вспомнить основное свойство всякой системы, отмеченное
в § 102. Оптическая сиоема, не имеющан потерь, не меняет
светового |
потока, |
но |
она, |
у м е н ь ш а я п л о Щ а Д ь |
изображения, во |
столько |
же раз |
у в е л и ч и в а е т т е |
л е с н ы й |
у г о л, |
в который |
направляется световой |
поток. При уменьшении площади изображения световой
поток, испускаемый единиuей поверхности, увеличивается, но зато этот поток направляется в больший телесный угол.
Таким образом, световой поток, испускаемый единицей по верхности в единичный телесный угол, m. е. яркость (см. § 73), остается неизменным.
Для простоуо случая образования изображения с помощью линзы мы можем подтвердить этот общий вывод путем несложного расчета.
Поместим перед линзой на расстоянии а от нее небольшую светя·
щуюся поверхность с площадью а, перпендикулярнуlO к главной оси.
Пусть ее изображение находится на расстоянии а' от линзы и имеет
площадь а'. Тогда, очевидно (рис. 238), а/а' =а2/а'2, |
или |
а/а2 = а'/а,2. |
(109.1 ) |
Найдем световой поток, направляющийся от источника чер~з mш· зу. Согласно формуле (73.2) Ф=LаQ, где L - яркоcrь светящейся пло· щадки, а -~e площадь, а Q - телесный угал потока, нацравляеМDГ.)
к линзе. Из рис. 238 ВIIДНО, что Q= Ala2 , где А - п:roщадь отверстия
линзы. Итак,
(109.2)
Этот световоН поток направляется на IIзображение а'.
Световой поток, испускаемый изображением, направ.lяется внутрь те.те:!юго угла ~2', который, как ВIIДНО из рис. 238, равен ~2'=A:·a'~.
Рис. 238. Яркость IIзображения зависит от произведения те.тесного
уг.'1а на п"ощадь изображения и не может превысить яркости источника
ПОТОК, идущий от изображения, равен Ф'=L'а'Q', где L' есть яркость
изображения. Итак,
L'a'A |
(109.3) |
Ф'=--- . |
а,2 |
|
Е<>1И в J!Инзе не происходит потерь света, то оба световых потока - Падающий на ,JIIIНЗУ (и направляемый ею к изображению) Ф 11 исходя
щий от изображения ф' - должны быть равны друг другу:
['а' А LaA
~=(if'"
Отсюда в силу ( 109.1) |
|
L'=L, |
(109.4) |
т. е. яркость изображения, даваемого J1ИНЗОЙ, равна ярко::ти самого объекта. Напомним, что все выводы справеДJlИВЫ J1ИШЬ ДJlЯ протяжен ных объектов. Вопрос о яркости изображения точечных объектов мы рассмотрнм в следующей r,'IaBe.
Полученный реЗ)'J1ыат позволяет найти освещенность изображе ния, даваемого линзой. дJlя освещенности изображения, согласно фор муде (109.3), пмеем.
Ф' |
L'A |
(109.5) |
Е'=-=-- |
а/ |
а,2· |
|
Ес.,и можно пренебречь потерями света в линзе, то L'=L и, СJlедовательно
Е' =.!:...~ . |
(109.6) |
а'2 |
|
Мы видим, что о::вещенность изображения, получаемого с помо
щЬЮ ЛИНЗЫ, такая же. как если бы мы замени.1И J1ИНЗУ источником той
же яркости L и с площадью, равной площади линзы. Полученная фор мула (109.6) применима и к более СJlОЖНЫМ системам.
Яркость изображения может быть повышена и превзойти яркость источника, ес.'1И в пространстве между источником и изображением на
ходится активная среда, УСИJlивающая про ходящее через нее ИЗJlучение.
(Способы создания активных сред будут рассмотрены позже.) Системы
суси.'Iением ярко(:ти называются активными оптическими системами.
Примером такой системы может СJlУЖИТЬ лазерный проекционный микро
Скоп, позволяющий получать на экране ПJlощади несколько квадрат-
