Landsberg-1985-T3
.pdf20.Чему равен угол падеН!IЯ луча, если луч падающий 11 луч от
раженный образуют угол 900 ?
21.Чему равен УГо.'! падения .'lуча, если луч оrраженный илу'!
преломленный образуют угол 900 ? Показатель преломлеНIIЯ вто
рой среды относительно первой равен n.
22. Докажите обратимость направления световых лучей для слу
чая отражения света.
23.Можно ли придумать такую систему зеркал и призм (ЛИНЗ)
через которую один наблюдатель видел бы второго наблюдателя, а второй наблюдатель не видел бы первого?
24.Показатель преломления стекла относительно воды равен 1,182; показатель преломления глицерина относительно воды ра
вен 1,105. Найдите показатель преJ1Омления cTeK.'la относительно
глицерина.
25.Найдите предельный угол ПОЮ1Ого внутреннего отражения для
алмаза на границе с БодоIl.
26.Найдите смещение луча при прохождении его через П.10СКО
параллельную пластинку из стс!(ла с показателем преломления,
равным 1,55, если угол падения равен 450, а толщина пластинки
равна 1 см.
27. Пользуясь законами преломления и отражения, объясните ЯБления, показанные на рис. 191.
Г л а в а Х. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРАЖЕНИЯ
И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА.
ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИй
§ 87. ИСТОЧНИК света и его изображение. В гл. ТХ был
сде.1а!! общий обзор законов распространения света. Теперь
мы переходим к дeTa,1ЬHO~!Y расС\!Отрению отдельных зако
нов и их приложений, которые И:VIеют большое практическое
значение. В этой главе ;YIbI расс~!Отрим преломление свето вых .1учеЙ в линзе и отражение лучей от зеркал различных
типов.
Из повседневной жизни мы знаем, что, рассматривая какой-либо объект, являющийся источником света, мы мо
жем составить представление о местоположении этого объ екта. Для решения подобных задач достаточно проследить путь ДВУХ каких-либо лучей, исходящих из данного эле~
мента светящегося объекта: точка ИХ пересечения определит
положение точечного источника света или, если источнИI(
света протяженный, того или иного небольшого элемента источнию). Другие лучи можно и не рассматривать, так
как все они, исходя из .0дноЙ ТОЧКИ источника, не дадут
ничего IIОНОГО дЛЯ отыскания положения этой точки.
Умение правильно определять местоположение светя
щихся объектов приобретается человеком постепенно, в ре зультате его жизненного опыта. Маленький ребенок, на ПрИ~Iер, стремится «схватиты> звезду или Солнце и тянется к ним рукой. Только по мере накопления опыта человек
п!швыкает правильно оценивать расстояние до объектов,
испускающих свет.
130 всеХ тех случаях, когда некоторая точка S' является
точкой пересечения и последующего расхождения световых
лучей, глаз (а также любой другой приемник, способный реагировать на воздействие света) будет восприни:v!3ть эти
лучи так, как если бы в точке S' действительно находился
ИСТОЧНИК света. Подобные точки, в которых тем или иным спосоБО~l собираются световые лучи, исходящие из реального
2З.s
источника света, называются изображениями этого источ ника (рис. 192). Положение изображения можно найти, построив ход каких-либо двух проходящих через него лучей.
И з о б Р а ж е н и я точечных источников существенно
отличаются от Д е й с т в и т е л ь н ы х точечных источ
ников, рассмотренных в гл. VIII, тем, что из них лучи рас
ходятся в о г р а н и ч е н н о м т е л е с н о м у г л е,
тогда как из' реального точечного источника - равномерно
во в с е с т о р о н bl (ер. на рис. 192 точки S и S'). ПО
этому изображение, в отличие от точечного источника, мож
но видеть не из любого положения. В данной главе это
Рис. 192. Реальный точечный источник S можно видеть из любого по ложения. Его изображение S' можно видеть только внутри ограничен ного телесного угла Q (положение 1). В положении 2 изображение
невидимо
различие имеет второстепенное значение, но при решении
вопроса об освещенности и яркости изображения (гл. Х I)
это различие существенно.
Получение изображений светящихея точек, а также про тяженных предметов является центральной задачей всей
геометрической оптики. Применяя законы отражения и
преломления, мы будем в первую очередь интересоваться вопросом образования изображений.
§ 88. Преломление в линзе. Фокусы линзы. В гл. IX был
сфОРl\lулирован закон прело~!Ления света, устанавливаю
щий, как меняется направление светового луча при пере
ходе света из одной среды в другую. Был рассмотрен про
стейший случай преломления |
света на п л о с к о й гра |
||
нице раздела двух |
сред. |
|
|
В практичеСIНlХ ПРЮIенениях очень большое |
значение |
||
имеет преломлеНIIе |
света на |
с Ф е р и ч е с к о й |
граНИUt; |
раздела. ОСНОВlIая деталь оптических приБОРОБ - линза -
представляет собой обычно стеклянное тело, ограниченное
с двух сторон сферическими поверхностями; в частном слу
чае одна из поверхностей линзы может быть плоскостью,
которую можно рассматривать как сферическую поверх
ность бесконечно большого радиуса.
236
Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, но, вообще говоря, из любого прозрачного вещества. В некото рых приборах, например, применяются линзы из кварца, J<аменной соли и др. Заметим, что и поверхности линз могут быть также более сложной формы, например цилиндриче ские, параболические и т. д. Однако такие линзы приме
ияются сравнительно редко. В дальнейшем мы ограНИЧИlllСН
рассмотрением линз со сферическими поверхностями.
р
Cz.
'}
Рис. 193. Тонкая линза: О - оптический центр, Ci и С2-цеитры огра
ничивающих линзу сферических поверхностей
Итак, рассмотрим линзу, ограниченную двумя сфериче
скими преломляющими поверхностями РОЛ и P0 2Q
(рис. 193). Центр первой преломляющей поверхности P01Q лежит в точке C1 , центр второй поверхности P0 2 Q - в точ ке C~. IIa рис. 193 для ясности изображена линза, имеющая
заметную толщину 0102' В действительности мы будем обычно предполагать, что рассматриваемые линзы очень
тонки, т. е. расстояние 0102 очень мало по сравнению
с 01C1 ИЛИ 02С2' В таком случае точки 01 и 02 можно счи
тать практически сливающИIIШСЯ в одной точке О. Эта точка
О называется оптическим центром линзы.
Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей
линзы, называется главной оптической осью, остальные
побочными ОСЯ.Иll.
Луч, идущий по какой-либо из оптических осей, проходя
через линзу, практически не меняет своего направления.
Действительно, для лучей, идущих вдоль оптической оси,
участки обеих поверхностей линзы можно считать парал
лельными, а толщину линзы мы считаем весьма малой. При
прохождении же через плоскопараллельную пластинку, как
мы знаем, световой луч претерпевает параллельное смеще
ние, но смещением луча в очень тонкой пластинке можно
пренебречь (см. упражнение 26 после гл. IX).
237
Если на ЛIIНЗV падает световой луч не ВДОЛЬ одной из
ее ОПТJlчеСКI!Х ocefr, а по какоыу-либо другому направлению,
то он, испытав преломлеНllе сначала на первой ограничи
вающей линзу поверхности, потом на второй, отклонится
от первоначалыюго направления.
Прикроем JJIJНЗУ черной бумагой 1 с вырезом, оставляю ЩИЫ открытым неБО,lЬШОЙ участок 01'Д10 главноti оптиче ской оси (рис. 194). Размеры выреза мы предполагае! малы
ми по сравнению с 01С1 l! 02С2. ПУСТ!!:>'I на линзу 2 вдоль
главной оптической ос!! ее слева направо параллельный лучок света. Лучи, IIдущие сквозь открытую часть линзы,
Рис. 194. Главный фOJ(ус .1]lНЗЫ
пре.'ю\!ятся и пройдут через некоторую точку F', ,1ежащуlО lIа Г,1авной оптической оси, справа от ,1ИНЗЫ на расстоянии t' от оптического центра О. Если в точке F' распо,lОЖИТЬ
беЛЬ]J'\ экран 3, то место пересечения лучей изобразится
в виде ЯрКОГО пятнышка. Эта точка F' на главной оптиче
ской осв, где пересекаются после преломления в линзе лучи, параллельные главной оптической оси, называется
главным ФОКУСQ,н, а расстояние t' =ОР' - ФОКУСНblАt рас
стоянием ЛIlНЗЫ.
НеТРУДI!О ПОI{азать, пользуясь законами преломления, что все лучи, параллельные главной оптической OCII и про ходящие через н е б о л ь ш у ю центральную часть линзы, после преломлеНI!Я деifствительно пересекутся в одной точ
ке, названной выше главным фокусом.
Рассмотрим луч РМ, падающий на линзу параллельно ее главной ОПТI!чсскоif ОСИ. Пусть этот луч встречает первую
прелоыляlOЩУЮ поверхность линзы в точке Л1 на высоте h
над осью, причем /L гораздо меньше, чем С2О и С1О (рис. 195). ПреЛОМJIенный луч пойдет по направлению МiИ"
и, преЛОl\lИВШИСЬ снова па ВТОРОЙ ограничивающей линзу
поверхности, выйдет из линзы по направлению Л1'F'.
составляющему с осью угол ер. Точку пересечения этого луча
238
с осью обозначим через F', а расстояние от этой точки д.о
оптичеСIШГО центра линзы - через f'.
Проведем через ТОЧКII М II .M~ плоскости, к а с а т е ль
н ъl е к преломляющим поверхностям ЛlIНЗЫ. Эти касатель
ные плоскости (перпендикулярные к плоскости чертежа) пересекутся под некоторым углом е, причем угол е весьма
мал, так как рассматриваемая нами линза - тонкая. Вместо
преломлеНIIЯ луча РММ'Р! в линзе мы, очевидно, можем
Рис. 195. Преломление в линзе луча РМ, параллельного главной оп тической оси. (Толщина линзы и высота h изображены преувеличен ными по сравнению с расстояниями R1 • Rэ и f'; в соответствии с этим и
углы 1'1 1'2 И е на рисунке чрезмерно велики.)
рассматривать преломление того же луча в тонкой призме
ВАВ', образованной проведенными нами в точках М и M~
касательными плоскостями.
Мы видели в § 86, что при преломлении в тонкой призме
с преломляющим углом 8 луч отклоняется от первоначаль
нога направления на угол, равный |
|
Gt=(n-l)8, |
(88.1) |
где n есть показатель преломления вещества, ИЗ которого
сделана призма. Очевидно, угол Gt равен углу q> (рис. 195),
т. е. |
|
<р= Gt = (n-l) 8. |
(88.2) |
Пусть Ci И С2 - центры сферических |
преломляющих по |
верхностей линзы, а Rl и R э - соответственно радиусы этих поверхностей. Радиус C1M перпендикулярен к касательной плоскости АВ, а радиус С2М1 - к касательной плоскости
239
АВ'. По известной теореме геометрии угол между этими
перпендикулярами, КОТОРЫЙ мы обозначим -ф, равен углу е
между плоскостями:
(88.3)
с другой стороны, уголiф, как внешний угол в треугольнике
C1NC 2 , равен cYi\IMe углов '\'1 и '\'2, образуемых радиусами
R1 и R2 С осью:
|
(88.4) |
Таким образом, с помощью формул (88.2)-{88.4) |
находим |
ep=(n-I)('\'1+'\'2)' |
(88.5) |
Мы предположили, что /l м а л а по сравнению с радиу
сами сферических поверхностей Rl и R2 И С расстоянием f'
точки р' от оптического центра линзы. Поэтому углы '\'1,
1'2 И ер также малы, и мы можем заменить синусы этих углов
самими углами. далее, благодаря тому, что линза тонкая,
мы можем пренебречь ее толщиной, считая C10=Rl; СД= =R 2, а также пренебречь разницей в высоте точек М и М'. считая, что они расположены на одной и той же высоте h
над осью. Таким обраЗО",I, мы можем при б л и ж е н н о
считать, что |
|
|
|
|
|
|
1'1 ~ sin 1'1 = ~!l |
' '\'2;::::; sin '\'2 = ;2' ер ~sin ер= |
~!, |
. (88.6) |
|||
Подставляя ЭТН |
равенства в |
формулу (88.5), |
найдем |
|||
|
;: =(n-l)( |
:1 |
+ :2)' |
|
|
(88.7) |
или, сокращая на h, |
|
|
|
|
|
|
|
y=(n-l) ( ~1 + ~2 ); |
|
|
(88.8) |
||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
f' |
I |
|
|
|
(88.9) |
|
= (n-l) (_1+_1) . |
|
|
|
||
|
R1 |
R2 |
|
|
|
|
Весьма существенно, что h |
н е |
в х о Д и т |
в |
о j{ о н ч а |
||
т е л ь н ы й рез у J1 Ь Т а т. |
Это означает, |
что J1 |
Ю б о й |
луч, параллельный Г,lавной оптической оси Лl1НЗЫ, встре
чающий линзу на люБО:l[, но Д О С Т а т о ч н о ы а л о ~1 по
сравнению с R1 И R2 раССТОЯНJlИ h от оси, пройдет после пре
ломления в линзе ч е рез о Д н у и т у ж е т о ч к у F'.
лежащую на расстоянии l' от ОпТического центра линзы.
240
Таким образом, |
Д о к а з а н о, ч т о л и н з а и м е е т |
г л а в н ы й Ф о 1< |
У с, и формула (88.9) показывает, как |
фокусное расстояние зависит от показателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кри
визны ее преломляющих поверхностей.
МЫ предполагали, что параллельный пучок лучей падает
на линзу слева направо. Существо дела не изменится, ко·
нечно, если на линзу направить такой же пучок лучей,
идущих в обратном направлении, т. е. справа налево. Этот
пучок лучей, параллельных главной оси, соберется снова
ФО~~~ЙЛl~~~:rе(:и~l~~{~~ |
~ |
(:В:J |
||||
расстоянии |
/ |
от ее оптиче- |
|
~ |
F' |
|
ского центра. На основании |
|
|
I |
|||
формулы (88.9) заI<лючаем,~ |
||||||
что /=/', т. е. оба фокуса |
|
|
|
|||
лежат симметрично по |
обе |
r71~ |
~ |
|||
стороны линзы *). |
|
F |
О} |
_ |
||
Фокус |
F |
называется |
о г------- |
|||
обычно передним фокусом,) |
1 -------- |
|||||
фокус Р' - задним фоку· |
i т' |
v---_-~ |
||||
сом; соответственно этому |
J" |
-1 |
|
|||
расстояние |
f |
называется |
Рис. 196. Фокусы линзы |
|||
передним |
фокусным |
рас- |
|
|
|
|
стоянием, |
РClсстояние |
f' - |
заднu.U |
фокусным |
рассmоя |
HUeAt.
Если в фокусе линзы поместить т о ч е ч н ы й источник
света, то каждый из лучей, выйдя из ЭТОЙ точки и преломив
шись в линзе, пойдет далее параллельно главной оптиче
ской оси линзы, в СОГ.'Iасии с законом обратимости световых
лучей (см. § 82). Таким образом, из линзы выйдет в этом слу
чае пучок лучей, пар а л л е л ъ н ы х главной оси.
При практическом ПРИl\lенении полученных нами соот
ношений необходимо всегда ПОl\ШИТЬ о сделанных при вы воде их упрощающих предположениях. Мы считали, что
параллельные лучи падают на линзу на очень малом
расстоянии от оси. Это условие не выполняется вполне
строго. Поэтому после преЛОIl1ления в линзе точки пересе
чения лучей не будут строго совпадать между собой, а зай
мут некоторый конечный объеl\!. Если мы поставим в этом
месте экран, то получим на HeI\'!не геометрическую точку,
") Этот вывод связан с тем обстоятельством, что мы с самого начала
полагаем, что по обе стороны линзы находится одна и та же среда (воз дух). Если бы это было не так, то нарушилась бы и симметрия в располо
жении фокусов F и Р'.
241
а всегда бо,тсе или ~!e[{ee расплывчатое светлое пят
нышко.
Другое обстоятеvlЬСТIЮ, которое НУЖНО ПО:\1Нi!ТЬ, состопт в TO~!, что ~lЫ не ~юже\I осущеспшть строго точечный источ
ник света. Поэта,,"!у, flO'IICCТllБ в фокусе iШНЗЫ источник
хотя |
бы очень ~!Э.ILlХ, |
110 I3сегдз к о н е ч н ы х |
раз 1\1 е |
р о В, |
мы не ПОvlУЧИl\1 с помощью линзы с т р о г о |
пар а л- |
|
,1 е .1 |
ь н Ы й ПУЧОК |
,1УчеЙ. |
|
В § 70 было УI{ззано, что CTrOrO лзrаллсльный лучок лучей не имеет физического CMb!C.~a. Сде.13Н!lOе замечаН!lе показывает, что рассмотрен
ные свойства .1шrзы находится !3 согласии С этим общим физическим ло
ложеннем.
В каждом отдеЛЬ!Ю~1 случае применения линзы к опре
деленному источнику света для получения параллельного
пучка лучей или, наоборот, при flрименении линзы для
Ф о к у с и р о в к и параJIлелы\Ого пучка надо специально
проверять степень отступления от тех упрощающих усло
вий, при которых выведены формулы. Но с у Щ е с т в е н
н ы е черты явления преломлсния СВетОВЫХ лучей в линзе эти формулы передают правильно, а об отступлениях от них речь будет идти позже.
§ 89. Изображение в линзе точек, лежащих на rлавной оп
тической оси. Формула линзы. Пусть точечный источник
света находится в точке 5 lIа глаI3НОИ оптической оси линзы, на расстоянии а от ее оптического центра О (рис. 197). Рас смотрим, как будет преломляться в vlИНЗС У 3 к и Й п у ч о к лучей, примыкающий к прямой 50, яв,тяющейся осью этого пучка *).
Пусть один из лучей (5М) светового пучка падает на первую преломляющую поверхность линзы в точке М,
находящейся на высоте h над осью. То обстоятельство, что мы ограничиваемся узким пучком лучей, означает, что h
мало по сравнению с расстоянием а от источника до линзы.
С другой стороны, так же как и в § 88, будем считать, что }I мало по сравнению с t', а следовательно, и по сравнению с радиусами R1 и R2 ограничивающих линзу поверхностей.
'lУгол, образуемый лучом 5М с осью, обозначим у. Так как мало, то и угол '\' мал. ПреЛОl\lленный луч пойдет по на
правлению ММ' и, преЛОJ\1ИВШИСЬ снова на второй ограни чивающей линзу поверхности, выйдет из линзы по направ
лению М151, составляющему с осью угол '\" _ Обозначим
через а' расстояние от оптического центра линзы до точки 5',
в которой преЛОl\lленный луч пересекает главную ось.
*) Такие пучки обычно называют nараксuальнымu (приосевыми).
242
Как и в предыдущем параграфе, проведем через точ
ки М и М' ПЛОСКОСТИ, касательные н: преЛОi\IЛЯЮЩИМПО верхиостям линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму ВАВ' с преломляющим углом в. B~1eCTO того чтобы рас сматривать преломлеиие луча SMM'S' в линзе, будем рас сматривать преломление того же луча в тонкой призме ВАВ'.
Выбранный нами луч после преломления отклонится от первоначального направления на угол а) который по фор муле тонкой прпзмы равен
|
cx=(n-I)B, |
(89.1 ) |
где n - |
показатель преломления вещества, |
из которого |
сделана |
линза. |
|
РаССМОТРПI\i также луч РМ, идущий параллельно глав ной оси и падающий на линзу в точке iИ. Преломление та кого луча уже рассмотрено в § 88 (условие малости h здесь соблюдено). Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из точки М" под углом ер к оси и пройдет через главный фокус Р' на расстоянии f' от оптического центра.
А
л
|
/-5\ |
~."..",. |
."../' |
|
J \ |
|
|
|
; |
."..-' |
|
р |
N ~ |
;, 11'- |
|
~~* |
J |
|
*оз' |
1 |
|
|
I |
1 |
|
|
1 |
I |
|
+' |
I |
J |
|
J |
|
J |
|
|
! |
J |
r.t |
а' |
1 |
|
|
|
>1 |
Рис. 197. Пре.llОМ.IIение в линзе луча S1\1, выходящего из точки S на оси. УГОЛ ВАВ' и ТОЛщина линзы сильно преувеличены
ТОЧКИ М' И М" очень близки друг к другу, так что призмы, образованные касательными в точке М и точках М' или' М",
практически не раЗЛllчаются и имеют один и тот же прелом
ляющий угол в. Угол а', на который отклонится этот луч
от первоначального направления поСле преломления в тон
кой призме, равен опять (n-l)8, т. е. равен углу а. С дру
гой стороны, этот угол а' равен, очевидно, углу ер (рис. 197).
243