Landsberg-1985-T1

межутка. Пусть, например, при равноускоренном движении

скорость в начальный момент «(начальная скорость») равна

ио. а по истечении промежутка времени t скорость стала рав­

ной и. Тогда ускорение а можно найти по формуле

Отсюда находим формулу для скоростш

v=vo+at. (17.2)

Если начальная скорость равна нулю, то

v=at. (17.3)

Значит, если при равноускоренном движении начальная

скорость равна нулю, то скорость прямо пропорциональна

про~ежутку времени, протекше~у от начального момента.

По TaKo:'IY закону ИЗ:'lеняется скорость шарика, начинаю­ щего скатываться по наклонной доске. По такому же закону (НО, конечно, при друго:.! ускорении) изменяется

скорость свободно падающего тела, если в началы:Iйй мо­

мент его скорость была раIЗна нулю (§ 55).

По полученным формула:.! можно рассчитать скорость тела, совершающего раIЗноускоренное движение, в Jlюбой

момент времени, если известны начальная скорость и уско­

рение. Можно также найти ускорение, ес.ПИ известны

начальная скорость, промежуток вреыени t и скорость в мо­

мент t, а также решать и другие анаJIогичные задачи.

§ 18. Знан ускорения при прямолинейном движении. В § 16 было рассмотрено равноускоренное движение (при KOTOPO~ скорость возрастает) и была получена для ускорения фор­

мула (16.1). Поскольку при ускоренном движении и2>иl'

вычисленное по этОЙ формуле ускорение а было nоложи­

mеЛЬНbLлt.

В случае, когда скорость со временем убывает, движе­ ние называется ЗШlсдленлы.м. В частности, раШiOзамедлен­ НЫ.М называют движение, в котором за любые равные про­

межутки времени скорость уменьшается на одну и ту же

величину. Тело, подброшенное вертикально вверх, или

шарик, вкатывающийся от толчка вверх по наклонной

доске, движутся равнозамедленно. Ускорение такого дви­

жения определяют, так же как и для равноускоренного

движения, как отношение приращения скорости к проме­

жутку времени, за который это приращение прои~ошло.

Следовательно, ускорение такого движения также опреде­

ляется формулой (16.1).

В случае равнозамедленного движения ускорение, вы­

численное по формуле (16.1), оказывается отрицательным (так как V,<Vl)' Следовательно, по знаку ускорения можно судить, каким является движение - равноускоренным (а> >0) или равноззмедленным (а<О) *). Скорость равнозамед­ ленного движения можно найти по той же формуле, что

идля равноускоренного движения:

но в этом случае ускорение а отрицательно.

Если начальная скорость равнозамедленного движения

положительна, то с течением времени она будет умень­ шаться, обратится в нуль, а затем станет отрицательной. Это значит, что движущаяся точка остановится, а затем

начнет двигаться в обратном направлении. Например, тело,

подброшенное вертикально вверх, в некоторый момент ос­

тановится (верхняя точка подъема тела), а затем начнет падать вниз. Момент остановки можно найти, если известны

начальная скорость и ускорение, полагая в формуле (18.1) v равной нулю. Пусть, например, тело брошено вертикаm,­ но вверх со скоростью 5 м/с. Будем считать направление вверх положительным. Ускорение брошенного тела есть,

как увидим ниже, a~10 м/с2• Значит, момент остановки

тела в верхней точке его траектории определяется соотно­

шением 5-10t=О, откуда находим t=O,5 с.

Равноускоренное и равнозамедленное движения называ­ ют ра8ноnеременными движениями. Иногда оба эти вида

движения называют равноускореННЫМII, имея ввиду, что

ускорение может быть как положительным, так и отрица­

тельным.

§ 19. Графики скорости при прямолинейном раВНОУСlюрен­

ном движении. Построим, пользуясь формулами § 17, гра·

фики зависимости скорости равноускоренного движения

от времени. Пусть, например, ускорение равно 2 м/с2 и В начальный момент скорость равна нулю. Выполнив построе­

ние, увидим, что график скорости представит собой прямую

1 (рис. 30), проходящую через начало координат. Можно

*} в случае ускоренного движения направления векторов скопости и

ускорения одинаковы; в случае замедленного движения векторы'~kСфО"

сти и ускореН!lЯ направлены в противоположные стороны. (Прu.меч.

ред.)

53

доказать, что график С!ЮрОСТИ равноускоренного движе­ ния - всегда прямая ЛИНI!Я; I! обратно, если график ско­ рости какого-либо движения есть прямая, то движение рав­ поускоренное (ср. § 12). При большем ускорении график скорости изображается прямой II,

наклоненной к оси времени под

большим углом.

ВСС графики в одном и том же масштабе (ср. § 12).

и,м/с Ж

Рис. 31. Графики скорости равноускоренных (1, 111) и равноза~lед.lеII!!ЫХ

(11, IV) движений

При отрицательном ускорении (равнозамедленное дви­ жение) график скорости также изображается прямой лини­

ей, однако прямая наклонена в этом случае вниз.

На графиках скорости можно ПРОИЛJIюстрировать все изменения скорости с течением времени при произвольном знаке начальной скорости

S4

я проиэвольном знаке ускорения. Так, на рис. ЗI ПРЯМIIЯ 1 соответст­ вует положительной начальной скорости и положительному ускорению, II - положительной начальной скорости и отрицательному ускорению, II 1 - отрицательной начальной скорости и положительному ускорению, IУ - отрицательной начальной скорости и отрицательному ускорению. Точки пересечения этих графиков с осью времегiи - это точки перемены

знака скорости, т. е. перемены направления движения. Если нас инте­

ресует только числовое значение скорости, а не ее направление, то мож­

но сказать, что в эти моменты замеД.1енное движение переходит в YCKQ-

ренное. Например, числовое значеНllе скорости камня, подброшенного

вверх, сначала уменьшается, а ПОС.lе Достижения верхней точки начи­

нает возрастать.

? 19.1. Напишите формулы ДМ] прсекции на ось х скорости дви­ жений, изображенных на рис. 31.

§ 20. Графики скорости при произвольном неравномерном

движении. В § 15 мы видели, как можно ПОСТРОИТЬ прибли­

женные графики пути нераIЗномерного движения, представ­

ляя его как ряд следующих друг за другом равномерных

движений с разными СКОРОСТЯМИ. Теперь построим подоб­

ным же образом приближенные графики СКОРОСТИ. Они

мени, на которые разделено данное Движение.

Например, по графику пути, изображенному на рис. 26, видим, что средние СКОРОСТИ ТОЧКИ за первый, второй и тре­

тий часы равны соответственно 20, 40 и 15 км/ч. Считая движение в пределах каждого часа равномерным (как это

и было сделано при построении графИl{а), получим график скорости, представленный на рис. 32. График скорости в

пределах каждого часа изображается отрезком, параллель­

ным оси времени (§ 13). Выбирая меньшие промежутки

времени, получим новый, более точный график скорости

(рис. 33), соответствующий более точному гр?фику пути (рис. 27). Здесь мы считаем, что движение равномерно

5S

.путь, пройденный за кatсой-либо промежуток времени, численно выражается площадью, ограниченной ОСЬЮ времени, графиком скорости и двумя вертикальными отрезками, nроведеЮiЫ},Ш из точек, соответствующих началу и концу данного nРОА!ежутка вреАtени. Таким образом, вывод, к ко­

торому мы пришли в конце § 13 для частного случая равно­

мерного движения, оказывается справеДЛIIБЫ~1 и для об­

щего случая произвольного hepabho:\-Iерного движения.

§ 22. Путь, пройденный при равнопеременном движении.

Воспользуемся графическим способом нахождения прой­

денного пути для случая равноускоренного движения.

Пусть график скорости равноускоренного движения изоб­

ражен прямой ВС (рис. 36).

Эта формула справедлива как для равноускоренного, так

Для движения с начальной скоростью, равной нулю, на

графике вместо трапеции получается прямоугольный тре­

угольник ODA с катетами OA=t и AD=v=at, так что пло­

щадь, выражающая пройденный путь, оказывается равной

(22.2)

*) Строго говоря, формулы (22.1) и (22.2) определяют не путь s,

а координату х движущейся точки в момент времени t. .•в случае, если

ио и а ПO.тJожительны, значения пути s и координаты х совпадают. В слу­

чае, когда ио>О, а ускорение а<О, формула (22.1) дает пройденный путь

лишь до тех пор, пока скорость не изменит знака (т. е. не изменит на­

праВ.тJеНIlП). (Прuжч. ред.)

57

?22.1. Напишите формулы, аналогичные (22.4) и (22.5), для слу-

•чая начальной СКОРОСТИ Vo, не равной нулю.

22.2. ПOl{ажите, пользуясь ФОРМУЛОЙ (22.1), ЧТО для равноуско­

ренного движения пути, проходимые ТОЧКОЙ за любые равные

промежутки времени, следующие друг за другом, получают одина­

ковое приращение.

22.3. Покажите, пользуясь формулой (22.2), что для равноуско-

. ренного движения без начальной скорости приращения пути за любые равные промежутки времени, следующие друг за другом,

равны двойному пути, проходимому точкой за первый такой

промежуток времени.

22.4. Электровоз подходит по горизонтальному пути к уклону,

имея скорпсть 8 м/с, затем движется по уклону вниз с ускоре­

нием 0,2 м/с2• Определите длину уклона, если электровоз про­

ходит его за 30 с.

22.5. Электровоз начинает двигаться равноускоренно в тот мо­

мент, когда с ним поравнялся мальчик, бегущий равномерно со

скоростью 2 м/с. Определите скорость электровоза в тот момент,

когда он догонит мальчика.

22.6. Автомобиль, пройдя с постоянным ускорением некоторое

расстояние от остановки, достиг скорости 20 м/с. Какова была

его скорость на половине этого расстояния?

22.7. Какой путь прошло тело за время, в течение которого

скорость его увеличилась с 4 до 12 м/с, если ускорение равно

2м/с2?

§23. Векторы. До сих пор мы рассматривали только движе­

ние точки по заданной прямой. В этом случае для того, что­ бы найти перемещение точки, достаточно знать начальное положение точки, направление движения и пройденный точ­ кой путь. Точно так же, зная начальное положение 'точки,

числовое значение скорости и ее знак, мы могли ответить

на вопрос, где будет точка через одну секунду, через две

секунды и т. д.

Но если точка движется не по прямой, то этих данных

уже недостаточно. Проследим по карте за движением само­ лета (летящего на неизменной высоте). Пусть, например, самолет переместился из положения А в положение В (рис. Отрезок АВ - перемещение самолета. Зная

прежнее положение тела и перемещение, можно найти но­ вое положение тела. Однако, в отличие от случая движения по прямой, для этого теперь нужно знать не только длину

отрезка АВ, но и направление в пространстве, в котором

это перемещение произошло. При другом направлении перемещения, даже при той же его длине, самолет оказался

бы в другой точке (например, в точке М, отстоящей от А

на таком же расстоянии, что и точка В). Значит, nеремеще­

ние характеризуется не только числовым значением, но и на­

правлением в пространстве.

59

Точно так же скорости и ускорения тел нужно характе­

ризовать не только числовыми значениями, но и направ­

лениями в пространстве. В физике часто приходится встре­

чаться с величинами, которые, как и перемещение, скорость

Рис. 38. Перемсщсния, не ,1СЖШЦИС на ОДНОЙ прямой. Сложение переме­

щеиий

или ускорение, характеризуются не только ЧИСJ10ВЫМ зна­

чением, но 11 направлением в пространстве. Мы увидим, что таковы силы взаимодействия между телами, напряженность

электрического поля и т. д.

Величины, которые характеризуются числовым значени­

е.А1 и наnравление,н в npocтpaHcmвe, называются векторами.

Таким образом, перемещение, скорость и ускорение­

пекторы.

Числовое значение вектора называется модулем. Модуль

вектора всегда nОАGжиmельныИ. На чертежах вектор изоб­

ражают в виде прямолинейного отрезка со стрелкой на кон­

це. Длина отрезка определяет в заданном масштабе модуль вектора, а стрелка указывает направление вектора. Векто­ ры обозначают либо буквой жирнnго шрифта (а, А), либо

... -+

буквой обычного шрифта со стрелкой над неи (а, А), либо,

наконец, двумя буквами со стрелкой над ними (АВ, ве),

причем первая буква обозначает начало, а вторая - конец

отревка, изображающего вектор. Модули векторов обозна­

чаются теми же буквами, что и векторы, но обычного шриф­

та и без стрелок (а, А, АВ, ве), либо с помощью символа

60

вектора, помещенного между вертикальными черточками

(Ial, IA.I).

В отличие от векторов, величины, которые характери­

зуются числовым значением, но !{оторым нельзя приписать

направления в пространстве, называют скалярны~tU вели­

чина.Юl или скалярами. Скалярами являются время, плот­

ность вещества, объе~1 тела, температура, расстояние (но

не перемещение!) и т. д. Скалярные величины равны друг

другу, если совпадают по числовому значению. Векторные

величины равны друг другу, если совпадают по модулю

ипо направлению.

Представим себе, что тело совершило одно за другим два

переыещения; например, самолет пролетел сначала по пути,

изображаемому вектором АВ, а затем по пути, изображае-

-+

МОМУ векторо:и ве (рис. 38). Результирующее перемещение

изобразится вектором хс. Его называют суммой данных

<;?

РIIС. 39. Сложение ДВУХ векторов: а) по правилу треУГОJlьника; б) по

праВИJlУ пара.lIлелограмма

перемещениЙ. Мы видим, что сумма двух перемещений полу­

чается как сторона треугольника, в котором две другие

стороны образованы слагаемыми перемещениями. Такое пра­

вило сложения называют вeKmopHЫ~! сложением или сложе­

нием по правилу треугольника (рис. 39, а). Отсюда следует, что МОДУJ1Ь суммы двух векторов в общем случае не равен

сумме модулей слагаемых векторов: модуль суммы лежит

между суммой и разностью модулей слагаемых векторов.

Только если слагаемые векторы расположены на одной прямой, модуль суммы равен сумме модулей слагаемых век­

торов (если они обращены в одну сторону) или абсолютному

значению их разности (если векторы обращены навстречу

друг другу).

Векторное сложение можно производить также по nра­

вилу nараллелограмма, равносильному правилу треуголь­

ника: при построении параллелограмма оба слагаемых

вектора откладываются из одной точки и служат сторо­ нами параллелограмма. Тогда диагональ параллелограмма,

61