Landsberg-1985-T1

Сопротивление воздуха искажает законы падения пото­

му, что оно зависит главным образом от размеров тела. На­

пример, для перышка оно больше, чем для дробинки, в то

время как земное притяжение для перышка слабее, чем для дробинки. Поэтому сопротивление воз­

"скорость падения перышка, чем дро­

бинки. В вакууме же все тела падают с

одинаковым ускорением независимо .от

выкачан воздух, подтверждает это за­

ключение (рис. 75). В трубку помещают, например, перышко и· дробинку. Если

в трубке находится атмосферный воздух, то, хотя перышко и дробинка одно­

временно начинают падение с одной и той же высоты (для этого нужно труб­ ку с обоими телами, лежащими в конце трубки, перевернуть этим концом квер­ ху), перышко сильно отстает От дробин­

ки. Если же повторить опыт после того,

как из трубки откачан воздух, то перыш­

ко и дробинка достигают дна трубки

одновременно и, значит, падают с оди­

нако!Зым ускорением.

Если сопротивление воздуха так мало,

что им можно пренебречь, то тело, осво­

зависит от высоты тела над Землей (§ 56). Но если падение происходит не с очень большой высоты (так

что изменение высоты тела при падении очень мало по срав­

нению с радиусом Земли, равным примерно 6400 км), то

силу земного притяжения практически. можно считать по­

стоянной. Поэтому можно считать, что в обычных условиях·

ускорение свободно падающего тела остается постоянным и

сво.бодное падение есть равноускоренное движение.

§ 53. Ускорение свободного падения. Опыт подтверждает со всей доступной точностью, что в данном месте на земном

112

шаре все тела в вакууме падают с одним и тем же постоян­

ным ускорением. Это ускорение обозначают буквой g. В раз­ личных точках земного шара (на различных широтах) чис­

ловое значение g оказывается неодинаковым, изменяясь

примерно от 9,83 м/с2 на полюсе до 9,78 м/с2 на экваторе.

На широте Москвы g=9,81523 м/с2• Значение g, равное 9,80665 м/с2, соответствующее 450 широты, условно прнни­ мается за «нормальное». Все эти числа относя.тся к движе­ нию тела на уровне моря (§ 56).

Различие ускорения свободного падения в разных точ­

ках земного шара обусловлено, с одной стороны, тем, что

Земш' имеет форму, несколько отличную от шарообразной,

и, с другой,- суточным вращением Земли (роль второй при- .

чины будет рассмотрена особо в § 134). В дальнейшем будем

принимать приближенно ·g=9,81 м/с2, а для совсем грубых

расчетов - g=10 M1c2.

§ 54. Падение тела без начальной скорости Jf движ~ние

тела, брошенного вертикально вверх. Пусть тело начинает свободно падать из состояния покоя. В этом случае к его

движению применимы формулы равноускоренного движе­ ния без начальной скорости с ускорением g. Обозначим на­

чальную высоту тела'над землей через h, время его свобод­

ного падения с этой высоты до земли - через t и скорость,

достигнутую телом в момент падения на землю,- через v.

Согласно формулам § 22 эти величины будут связаны соот­

ношениями

В зависимости от характера задачи .удобно пользоваться

тем или другим из этих соотношений.

Рассмотрим теперь движение тела, которому сообщена

некоторая начальная скорость vo, направленная вертикаль­

но вверх. В "Iтой задаче удобно считать положительным на­ правление кверху. Так как ускорение .свободного падения направлено вниз, то движение будет равнозамедленным с отрицательным ускорением -g и с положительной началь­

ноЙ скоростью. Скорость этого движения в момент времени t

БЫРШ3ИТСЯ формулой •

113

· а высота подъема в этот момент над исходной точкой - фор­ мулой "')

h=vot-gt2/2. (54.5)

Когда скорость тела уменьшится до нуля, тело достигнет высшей точки подъема; это произойдет в момент t, для lЮ­

торого

vo-gt=o. (54.6)

После этого момента ск.')рость станет отрицательной и тело

начнет падать вниз. Значит, время подъема тела

t=vo/g. (54.7)

Подставляя в формулу (54.5) время подъема t, найдем ВЫСО­

ту подъема тела:

Далрнейшее движение тела можно рассматривать как падение без начальной скорости (случай, рассмотренный в

начале этого параграфа) с высоты h=v~/2g. Подставляя эту

ВЫСОТУ в формулу (54.3), найдем, что скорость V, которой те­

ло достигнет в момент падения на землю, т. е. вернувшись

в точку, откуда оно было брошено вверх, будет равна на­ чальной скорости тела Vo (но, конечно, будет направлена

противоположно - вниз). Наконец, из формулы (54.2)

заключим, что время падения тела с высшей точки равно

времени поднятия тела в эту точку.

!Ходит каждую точку своей траектории с рдной и той же по модулю

скоростью на пути вверх и на пути вниз.

54.3.Найдите скорость при ударе о землю камня, брошенного с башни высоты h: а) без начальной скорости; б) с начальной clj:o-

ростью· VO, направленной вертикально вверх; ·в) с начальной скоростью vo, направленной вертикально вниЗ.

54.4.Камень, брошенный вертикально lIверх, пролетел мимо

окна через 1 с после броска на пути вверх и через 3 с после

броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и началь­

ную скорость камия.

•) в этой формуле h играет роль координаты Х, отсчнтаНllоii: вверх по вертикали (см. сноску на с. 57). (Примеч. ред.) .

* *) ВО BCI;;X задачах, если это не оговорено,.пренебречь сопротивле­

нием :воздуха.;.

)14

114.5; При веР11iИaJIьноА стрельбе по воздушным целЯМ снаряд,

выпущенныА из зеНИ11l0ГО орудия, д(,~тиг только половины рассто­

яния до цели. Снаряд, выпущенный из другого орудия, достиг

цели. Во сколько раз начальная скорость-сиаряда второго орудия

больше, чем скорость первого?

М.6. Какова максимальная !!ысота, на которую поднимется

камень, брошенный вертик,зльно вверх, если через 1,5 с его ско­

рость уменьшилась вдвое?

§ 55. Вес тела. Сила, с которой тело, находящееся под дей­ ствием силы тяжести, действует на подставку или подвес, называется весом тела. В частности, если тело подвешено к

динамометру, то оно действует на динамометр с силой свое-

. го веса. По третьему закону Ньютона динамометр действует на тело с такой же силой. Если при этом динамометр и под­ вешенное к нему тело покоятся относительно Земли, то,

вначит, сумма СИЛ, действующих на тело, равна нулю, так

что вес тела равен силе притяжения тела Землей. Таким об­

разом, подвешивая тело к неподвижному динамометру, мы

можем определить вес тела и равную ему силу притяжения..

тела Землей. Поэтому динамометры H~peДKO, называют

nружинными весами.

Вес возникает в результате притяжения Земли, но он может отличаться от силы притяжения Земли. Прежде всего, это может быть в тех случаях, когда кроме Зеl\.ffiИ и

подвеса на данное тело дейст­

вуют какие-либо другие те­

ла. Так, если тело, подвешен­

ное к весам, погружено в во­

покоятся; затем опустим быст­ ро руку с динамометром и гирей и снова остановим руку.

Мы увидим, что в начале движения, когда ускорение дина­

мометра и гири направлено вниз, 110казание динамометра

.меньше, а в конце движения, когда ускорение динамометра

115

и гири направлено вверх, больше, чем при неподвижном ди­

намометре (рис. 76). Qбъяснение этому дает второй закOI: Ньютона. Если гиря, подвешенная к динамометру, остается

в покое, значит, сила упругости пружины динамометра, на­

правленная вверх, уравновешивает действующую на гирю

силу тяжести, направленную вниз, так что вес гири равен

силе тяжести. Но если гиря движется с ускорением, направ­

ленным вниз, это значит, что пружина динамометра дейст­

вует с меньшей силой, чем требуется для равновесия, т. е.

меньшей, чем сила тяжести; поэтому вес гири оказывается

меньшим, чем при покоящихся динамометре и гире. На­ оборот, если· тело движется с ускорением, направленным

вверх, это значит, что пружина динамометра действует на

гирю с силой большей, чем сила тяжести; поэтому вес гири будет больше, чем при покоящихся динамометре и гире.

Таким образом, хотя сила тяжести не зависит от того,

обладают ли весы и взвешиваеное тело ускорением относи­ тельно Земли, но вес тела оказывается зависящим от уско­

рения тела и весов. Поэтому при взвешивании на. весах

всегда необходимо учитывать, покоятся весы и взвешивае­

мое тело или имеют ускорение *).

Хотя для покоящегося тела вес равен силе тяжести, эти

две силы нужно четко различать: сила тяжести приложена

плечий рычаг оказывается в равновесии, если на оба конца

его действуют одинаковые силы. Поэтому, если к концам

равноплечего рычага подвесить с одной стороны взвеши­

ваемое тело, а с другой - гири-эталоны,. подобранные так,

*) При взвешивании тел нас, как ПRавило, интересует не вес этих тед, а их масса, (Примеч, ред.)

116

чтобы рычаг был в равновесии, то вес тела будет равен сум-

Рычажные весы позволяют взвеШИБать тела с гораздо

большей точностью, чем обычные пружинные Be~ы. Наиболее

точные рычажные весы позволяют производить взвешива­

ние тел с точностью до 1·10-8 измеряемой величины. Широко распространены также весы с неравноплечим.

рычагом (например, десятичные весы). Вес тела равен весу

гирь, уравновешивающих его на этих весах, умноженному

на отношение плеч рычага (у десятичных весов - на 10).. На таких весах можнq взвешивать большие грузы при по­

мощи относительно малых гирь.

? 55.1. Станьте на площадку десятичных весов и уравновесьте

свой вес гирями. Затем быстро присядьте на корточки. Объясни­

те происходящие при этом изменения показаний весов.

55.2. Будет ли изменяться показание динамометра с подвешенной гнрей, если двигать руку с динамометром равномерно вниз?

§ 56. Масса и вес. мы видели (§ 53), что при' свободном па­

дении все 1ела, независимо от hX массы, падают. в данной

точке Земли с одинаковым ускорением g. Истолкование это­ го результата на основе второго закона Ньютона приводит

к очень важному выводу: если тело массы т движется под

действием силы притяжения Земли с ускорением g, значит,

сила тяжести для данного тела равна

Сила тяжести nроnорциональна .массе rnела, .на которое.

она действует.

Если тело покоится, то вес тела а равен силе тяжести, на него действующей. Поэтому можно написать, что вес

тела

O=mg

(мы написали формулу для модулей соответствующих век­ торов). Значит, для покоящихся тел их веса пропорцио­

нальны массам, так что для двух тел с массами mi и та и

весами 01 И Оа справедливо равенство

тl/т"=ОIIG.,. (56.2)

Этим соотношением пользуются для сравнения масс тел при'

помощи рычажных или пружинных весов (§§ 43 и 55). Однако ускорение свободного падения в различных точ­

ках Земли различно. Поэтому и вес одного и того. же тела

будет разным в различных точках земной поверхности. Вес

тела уменьшается при подъеме над поверхностью Земли

. .

.tH

(на 0,0003 своего значения при подъеме на 1 км). Поэтому

сравнивать массы тел взвешиванием можно только при ус­

ловии, что оба сравниваемых тела находятся в одном месте.

В рычажных весах это условие выполняется само собой, но

в пружинных весах это условие может быть нарушено:

мы можем проградуировать весы, подвешивая к ним гири­

эталоны, в одной точке земного шара, а затем перевезти весы

в другое место и там подвесить измеряемую массу. Если

ускорения свободного падения в этих точках будут различ­

ны, то показания весов уже не будут в точности пропорцио­

нальны массам тел.

§ 57. Плотность вещества. Мы уже отмечали (§ 43), что тела,

имеющие одинаковые объемы, но сделанные из различных

веще~тв, например из железа и алюминия, имеют различные

массы. Массы сплошных (Т. е. без пустот) однородных тел

(Т. е. тел, свойства которых, в частности материал, из кото­

рого они сделаны, во всех точках одинаковы) пропорцио­

нальны объемам тел. другими словами, отношение массы

тела к его объему является постоянной величиной, характер­

ной для данного вещества. Эту величину называют nлот-

1l0стью вещества. Будем обозначать ее буквой р. Согласно

определению

где т и V - масса и объем тела, Можно также сказать, что плотность равна массе единицы объема вещества. Зная плот­ ность вещества р и объем тела ~T, можно найти его массу т

по формуле m=pV.

118

За единицу плотности принимается плотность такого

вещества, единица объема которого имеет массу, равную

единице. Единицей плотности в СИ является килогра.м.м на кубический ,М,етр (KГ/M~). В табл. 1 приведена плотность не­ которых твердых и жидких веществ. В слу.чаях, когда вещество не 'имеет строго определенной плотности (дре-

. весина, бетон, беНЗИН), производилось округление дан­

ных.

§ 58. Возникновение деформаций. Мы уже знаем, что силы

упругости возникают между телами только в том случае,

если тела деформированы. Нить действует на тележку с не­

которой силой потому, что она растянута, паровоз толкает

вагон потому, что его буферные пружины сжаты, и Т. д. Силы упругости определяются деформацией, причем по

мере увеличения деформации растут и силы упругости (§37).

Мы не могли раньше ответить на вопрос о nроисхожденuu деформаций, потому что объяснить возникновение деформа­

ций можно, только зная З.аконы движения. Действительно,

деформации возникают потому, что

различные части тела движутся по­

разному. Если бы все части тела

двигались одинаково, то тело всегда

сохраняло бы свою первоначальную

форму и размеры, т. е. оставалось бы

резинки; нижний слой, лежащий на ются неподвижными

столе, остается' неподвижным, так как он соприкасается с

гораздо более жесткой, чем резинка, поверхностью стола.

Разные части резинки смещаются по-разному, и резинка

меняет свою форму: возникает деформация. Деформирован­

ная ре:шнка действует на соприкасающиеся с ней тела с не­

которой силой. Палец отчетливо чувствует давление резин­ ки. Если палец убрать, то резинка прймет прежнюю

форму.

Все тела, с которыми мы име.тi'и дело в наших опытах,

ведут себя подобным же образом: при возникновении в них деформации они действуют на соприкасающиеся с ними тела

с силой, зависящей от деформации; при возвращении же

тела в недеформированное состояние действие силы прекра­

щается. Такие силы, как уже было сказано,, называют

119

упругими. Упругими называют и сами тела, в которых такие

силы возникают.

Существуют тела, со стороны которых силы действуют,

только пока происходит изменение формы и размеров тела; когда же форма тела перестает изменяться, сила исчезает,

хотя тело остается в деформированном состоянии.' Таковы,

например, мягкая глина, нагретый Боек и т. п. Подобные те­

ла называют nласmUЧ/-lblАШ.

Теперь рассмотрим подробнее, как именно деформируют­

ся тела и какие возникают в них силы упругости в разных

случаях: при воздействии сил, появляющихся при непосред­ ственном соприкосновении, и при действии силы тяжести.

При этом отдельно разберем случай, когда все силы, дей­

ствующие на тело, взаимНо уравновешиваются и тело ос­

тается в покое (либо движется по инерции; для простоты

будем говорить о покое тела), и отдельно - случай УСI\О­

ренного движения.

§ 59. Деформации в покоящихся телах, ВЫЗВ31щые действи­ ем только сил, возникающих при соприкосновении. Будем

изучать возникновение деформаций в теле простой формы,

например в бруске, к которому приложены силы, действу­

ющие вдоль него; тогда картина возникающих деформаций

проста. Пусть к копцам бруска приложены две равные по

модулю силы F, направленные противоположно, как пока­

зано на рис. 79. Тогда силы взаимно уравновесятся, и бру­ сок в целом останется в покое. Но концы бруска начнут дви­

гаться под действием приложенных сил, и брусок начнет

деформироваться - растягиваться.

Разрежем мысленно брусок на две части, как показано штриховой линией на prrcYHKe (для наглядности «разрезан­

ные» части смещены друг относительно друга); так как эти

части деформированы, то они действуют друг на друга с

некоторыми силами упругости, равными друг другу и про­

тивоположно направленными. Таким образом, силы упру­

гости возникают не только между разными телами, но и

120

между частями одного и того же тела. Очевидно, когда эти

силы упругости станут равными по модулю внешней силе

р, рзстяжение бруска прекратится и каждая часть его бу­ дет -находиться в равновесии под действием внешней силы и

силы упругости со стороны второй части бруска. Где бы

ни провести мысленно разрез, сила упругости, действующая со стороны одной части на другую, будет всегда одна и та же - равная по модулю силе Р. Значит, брусок будет рас­

тянут равномерно: во всех его частях деформация будет

деформация бруска будет сжатием, а не растяжением, а

силы упругости будут не тянуть друг к другу обе чаёти

бруска, а отталкивать их друг от друга (рис. 80). Конечно,

на практике, растягивая жесткий (например, металличес­ кий) брусок, мы не сможем заметить его растяжение на глаз,

так как оно будет очень мало. Но если взять вместо жестко­

го бруска мягкую «модель бруска» - слабую цилиндричес­

кую пружину (такую пружину легко изготовить, например,

наматывая проволоку на карандаш), то деформации такой

модели будут велики и вся картина равномерного растяже­ ния станет наглядной. Для наглядности мы и в следующих параграфах будем рассматривать BMe~TO деформации брус­

ка деформацию пружины. При действии тех же сил разли­ чие будет в том, что для пружины деформации будут гораз­

до больше, чем для бруска, и их легко будет наблюдать.

§ 60. Деформации в покоящихся телах, вызванные силой

тяжести.. Рассмотрим, как возникают деформации, если

кроме сил, возникающих при соприкосновении, на покоя­

щееся тело действует и сила тяжести.

Возьмем мягкую цилиндрическую пружину и медленно

опустим ее одним концом на стол. Пружина окажется сжа­ той (рис. 81). Происходит эта деформация следующим обра­

зом: после того как нижний виток пружины коснулся по­

в~рхности стола, этот виток перестает двигаться, верхние

же витки пружины продолжают опускаться и приближают­

ся к нижним виткам; пружина сжимается, и ПОЯВЛЯЮТСЯ

силы упругости; движение верхних витков· прекращается

только тогда, когда возникшая в результате сжатия сила

упругости будет в любом месте пружины действовать на

вышележащие ВИТки с силой, равной их весу. Но для этого витки пружины должны быть сжаты тем сильнее, чем ниже

',121