Вариант 27

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции.

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти основание и боковую сторонуравнобедренного треугольника,

вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких

треугольников наибольший периметр.

5. Вычислить функции.

6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Написать формулу Лагранжа для функции и найтина

.

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 28

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти основание и боковую сторонуравнобедренного треугольника,

вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких

треугольников наибольшую площадь.

5. Вычислить функции.

6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке?

Если да, то найти .

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 29

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции.

3. Построить график функции в полярной системе координат

4. На правой ветви квадратичной гиперболы ,, найти точку,

ближайшую к началу координат.

5. Вычислить функции.

6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: ,.

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. В какой точке касательная к кривой параллельна хордесоединяющей

точки и?

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 30

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти радиус основания и высотупрямого кругового цилиндра,

вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких

цилиндров наибольшую полную поверхность.

5. Вычислить функции.

6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: ,.

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Удовлетворяют ли функции иусловиям теоремы

Коши на отрезке ?

11. По графику функции построить график ее первой производной

Решение типового варианта по дифференциальному исчислению.

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

Это есть неопределённость вида Обозначив выражение под знаком пре-

дела через рассмотрим

Значит, .

2. Провести исследование и настроить график функции:

Область определения: функция является нечетной; она непрерывна

для всех , поэтому её график вертикальных асимптот не имеет; наклонные и

горизонтальные асимптоты:

т.е. при асимптотой является прямаяа при

асимптотой является прямая

Далее имеем: знаки

т.е. функция возрастает на интервалах ии убывает на интер-

вале является точкой максимума, аявляется точкой мини-

мума:

знаки т.е. график функции будет выпуклым на

интервале , и вогнутым на интервалеточкабудет точкой

перегиба графика; График функции будет иметь вид:

3. Построить график функции в полярной системе координат:

График строится “по точкам” с учетом того, что возрастает при

то есть при и убывает прито есть при

и так далее. В итоге, график будет иметь вид:

4. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описан-

ного около сферы единичного радиуса. .

Из подобия треугольников

т.к.то отсюда

О

Теперь

и где

Найдем, при каком эта функция будет наименьшей:

т.к. то отсюда

Знаки

Значит, убывает наи возрастает наи функция будет

наименьшей при ТогдаТаким

образом,

5. Вычислить функции. Разделим числитель на знаменатель

и разложим оставшуюся правильную дробь на простые:

при отсюдаприотсюда

Таким образом, Теперь легко найти искомую произ-

водную:

Теперь вычислим функции.

Используя формулу Лейбница при имеем:

(все остальные члены будут равны );

6. Используя формулу Тейлора 2-ого порядка, вычислить приближенно и

доказать, что при этим погрешность допускает оценку

Далее используем формулу

в которой

между иОтбрасывая остаточный членимеем приближенно

Погрешность этих вычислений допускает оценку т.к.

наибольшее значение этой дроби будет при наименьшем её знаменателе,

т.е. при .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке и вычислить

Уравнение касательной имеет вид

Уравнение нормали имеет вид

Далее имеет:

.

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: , т.е.

дифференцируем это равенство по

откуда

Дифференцируем это равенство по еще раз:

.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

Это есть неопределённость вида

Обозначим тогда наш предел будет равен

что в силу 1-ого

замечательного

предела приводит кДалее используем готовые

разложения иподставляя в

них вместо соответственно, получим

Теперь исходный предел будет равен

поскольку последний предел, согласно определению бесконечно малой

более высокого порядка, равен то получаем ответ:

10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти

соответствующую точку

Формула Лагранжа имеет вид для нашей

функции будем иметь т.е.и

11. По графику функции построить график её первой производной. Под

графиком функции будем строить график её производной, учитывая что:

- на интервалах возрастания функции иеё производная

положительна, а на интервале убывания это производная отрица-

тельна;

-точки иявляются точками экстремума функции, значит производная

функции в этих точках равна или не существует:не

существуют, т.к. в этой график функции имеет вертикальную касательную,

а в силу того, что производная – это угловой коэффициент касательной,

- аналогично, т.к. график функции имеет вертикальную касательную и в

точке , то в этой точке производная также имеет бесконечный разрыв;

- т.к. при график функции имеет асимптоту (предположительно

), то график её производной будет иметь горизонтальную асимптоту

т.е.

Рис. 1.

Рис. 2.

58