Вариант 5

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. На прямой , найти такую точку, чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до двух прямых: , и, была

наименьшей.

5. Вычислить функции.

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую

оценку:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Написать формулу Коши для функций и, и найти.

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 6

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти стороны ипрямоугольника, вписанного в окружность единичного

радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.

5. Вычислить функциив точке.

6. Cчитая, что и используя формулу Тейлораго порядка,

вычислить приближенно значение и доказать, что при этом погрешность

допускает нижеследующую оценку: .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. На кривой y = 4 − 6x³, найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная

параллельна хорде, соединяющей точки и.

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 7

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти сторону основания и боковое реброправильной треугольной

призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких

призм наибольший объем.

5. Вычислить функции.

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

функции и доказать, что при этом погрешностьдопускает

нижеследующую оценку:.

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Написать формулу Лагранжа для функции и найтина.

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 8

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти верхнее основание трапеции наибольшей площади, вписанной в

полукруг радиуса и имеющей нижним основанием диаметр полукруга.

5. Вычислить функции.

6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до.

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке?

11. По графику функции построить график ее первой производной