1. Варианты контрольных заданий по дифференциальному исчислению.

Вариант 1

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а); б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти стороны ипрямоугольника, вписанного в окружность единичного

радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.

5. Вычислить функции.

6. Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно и

доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Известно, что для всех. Существуют ли еще какие-нибудь

функции, совпадающие со своими производными всюду?

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 2

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. В трапеции три стороны имеют длину . Какую длину должна иметь четвертая

сторона, чтобы площадь была максимальной?

5. Вычислить функции.

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую

оценку: .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. В формуле Лагранжа определить значение для функции

на отрезке .

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 3

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти радиус основания и образующуюпрямого кругового конуса,

вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов

наибольшую полную поверхность.

5. Вычислить функции.

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую

оценку: .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке?

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 4

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б).

2. Провести исследование и построить график функции:

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти радиус основания и образующуюпрямого кругового конуса,

вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов

наибольший объем.

5. Вычислить функции.

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно

значениеи доказать, что при этом погрешностьдопускает

нижеследующую оценку: .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Написать формулу Лагранжа для функции и найтина.

11. По графику функции построить график ее первой производной