Спектр Фурье числовой последовательности

Рассмотрим выражение для напряжения на выходе 4-х-полюсника на основе импульсной характеристики

Если обратиться к преобразованию, то есть передаточная функция, которая вычисляется вдоль единичной окружности.

СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ ФУНКЦИИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫБОРКИ

Для периодической непрерывной функции комплексная амплитуда представлена соотношением

в которой время представляет непрерывную переменную.

Дискретизированная по этой переменной функция обладает периодом, который можно записать NT_д= T. Тогда текущее время t = nT_д и dt = T_д .

Входное напряжение также представлено в дискретной форме

Интеграл заменим суммой. В итоге получим

Функция от к формируется как сумма по n что соответствует интегрированию в пределах (0,Т).

Значение N определяется произвольно. Условия выбора определяет, как правило, задачами более высокого уровня.

Следует внимательно относиться к переменным k и n.

Будем относить переменную k к номеру гармонической составляющей. Тогда из анализа полученного выражения видно, что значение комплексной амплитуды k-ой составляющей спектра, определяется через все N отсчётов с периодом Т_Д.

Обратимся к представлению о количестве k.

Из формулы видно, что их не может быть больше, чем N. Получается, что число составляющих спектра в точности равно числу выборочных значений во временном представлении функции времени.

Это следует из того, что функция является периодической по k.

A₀ = ,

A₁ =

A_k =

Пример

A₀ = a/5

A₄ =

ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ВХОДНОМ НАПРЯЖЕНИИ

И СООТВЕТСТВУЮЩЕМ СПЕКТРЕ

1.ВХОДНОЕ НАРЯЖЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНО НЕПРЕРЫВНОЙ

ФУНКЦИЕЙ ВРЕМЕНИ

Функция спектральной плотности – непрерывная функция частоты.

2. ВХОДНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИЕЙ ВРЕМЕНИ

Спектр есть дискретная функция частоты.

3.ВХОДНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНО ДИСКРЕТНОЙ ФУНКЦИЕЙ ВРЕМЕНИ

Интервал дискретизации Т=1/f_д.

Спектр непрерывный, периодический с периодом f_д = ω_д/2π.

1. ВХОДНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ ФУНКЦИЕЙ ВРЕМЕНИ

Период функции Т_с, интервал дискретизации внутри периода Т_т=1/f_д.

Спектр дискретный и периодический.

Дискретность спектра обусловлена периодичностью функции- интервал дискретности по частоте 2πf_ДТ=ω_Т =2π/Т_с.

Периодичность этого дискретного спектра обусловлена дискретной формой представления функции времени. Период по частоте равен 2πf_Д = ω_Д.

ЦИФРОВАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕИЯ ВХОДНОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Принципиальная сторона такого представления состоит в том, что число, соответствующее величине выборочного значения, имеет гарантированную погрешность, обусловленную дискретностью уровней сравнения. Это, так называемая ошибка дискретности.

Другая принципиальная сторона такого представления заключается в том, что отсчёт представляет собой позиционный код, в данном случае число выражается 3-х-позиционным кодом.

РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Разностным уравнением называют уравнение в котором неизвестная величина данного уравнения представлена дискретными значениями, в функции от различных моментов времени.

Например уравнение RLC – последовательного примитива при непрерывной переменной t относительно функции тока имеет вид

Получаем уравнение такого вида

Для того, чтобы сделать выражение независимым от времени, т.е. непрерывным, переведём равенство в Z область:

Рассмотрим выражение (А). Относительно знака равенства – слева напряжение выхода схемы, умноженное на полином от Z. В этом полиноме математические операции состоят из операций сложения и умножения.

Здесь также присутствует переменная Z в различных степенях со знаком минус.

В соответствии с теоремой задержки – отрицательный знак в показателе степени означает задержку на число периодов квантования входного напряжения, если показатель степени целое число, или число полупериодов, если показатель нецелое число.

Поэтому, если операцию сложения (вычитания) представить в виде ,

операцию умножения ,, а операцию задержки,то записанному полиному в области Z можно поставить в соответствие структурную схему, определяющую структуру математического выражения.

Рассмотрим правую часть формулы ()

57