1.1. Теория одноконтурных схем с одним нагрузочным элементом.

Примитив с одним нагрузочным элементом

1.1.1. R - примитив

Рис.1

На рис.1 показаны :

• источник электрической энергии V1 в виде источника постянной ЭДС с величиной напряжения на узлах 1,1 - U_1,1'. Стрелка около данного элемента направлена вниз, указывая направление падения напряжения, т.е. потенциал точки 1 выше потенциала точки 1’.

Функцию, определяющую закон изменения разности потенциалов на указанных узлах в дальнейшем будем называть функцией источника;

• вольтметр, подключённый к узлам 1,1. Из схемы видно, что прибор измеряет напряжение на узлах, к которым подключены параллельно источник энергии и резистор R.

• амперметр, подключённый последовательно с резистором R. Данный прибор измеряет величину, характеризующую некоторый процесс, называемый током, который имеет место после всех соединений в рассматриваемой цепи. Направление «протекания» тока I_1,1' показано стрелкой.

Метрологические характеристики приборов считаем идеальными.

• резистор, элемент, который является проводником электрического тока. Физическая сущность резистора представляет собой процесс преобразования электрического поля источника в тепловое (электромагнитное) излучение. Энтропийный элемент теории.

Рассмотрим процесс получения измерительной информации на вольтметре и амперметре.

В общем случае, цикл функционирования данной цепи состоит из трёх этапов:

1. Подключение источника к цепи путём замыкания ключа К. Момент времени подключения можно принимать за нуль отсчёта времени в координатах данной схемы. До момента t=0 схема находилась в состоянии покоя. Это стационарное состояние, характеризуемое тем, что источник энергии и цепь существовали раздельно

2. При t→∞ будем считать, что цепь переходит в новое состояние по отношению к состоянию при t<0, называемое также стационарным, т.е. характерные значения токов и напряжений установились и не зависят от времени. В ряде практических случаев, это основное состояние функционирования электрической цепи.

3. Отключение источника энергии от цепи путём размыкания ключа К. Цепь и источник энергии существуют раздельно.

Рассмотрим указанные этапы для схемы закона Ома на рис1.

Рис.2а Рис.2б

На рис.2а показано состояние цепи с неподключённым источником. Ключ К моделирует отключение. При этом источник характеризуется величиной ЭДС, а на узлах 1,1' вольтметр показывает нуль. Такое же значение тока показывает и амперметр.

В некоторый момент времени ключ К замыкается и схема приобретает вид, который показан на рис2б. Примем этот момент времени за нуль и рассмотрим в этой системе координат показания приборов при t=0 и t→∞.

Рис.3

На рис.3 видно, что в момент t=0 напряжение и ток скачком изменили свои значения (функции u1,1’(t) и i1,1’(t) терпят разрыв), а далее они остаются постоянными до некоторого значения t2.

Этому значению времени соответствует момент размыкания ключа К и схема возвращается в состояние, показанное на рис.2а.

Главные существенные особенности тока и напряжения, полученные в процессе проведения данного эксперимента следующие:

1. Скачкообразные, синхронные ( в один и тот же момент времени) для тока и напряжения, изменения, которые соответствуют моменту соединения источника с нагрузкой – элемент R (момент t=0) и моменту отсоединения от нагрузки момент t2.

Момент соединения и отсоединения фиксируется моментом замыкания и размыкания ключа К.

Малые области времени, включающие моменты времени t=0 и t2, представляют собой интервалы времени, в течение которых цепь переходит из одного стационарного состояния в другое.

В окрестности точки t=0 слева (t<0) состояние соответствует стационарному состоянию – отключено. В этом состоянии напряжение u1,1’(t) и ток i1,1’(t) равны нулю. И такое состояние может продолжаться как угодно долго до момента включения ключа.

После замыкания ключа в некотором интервале времени t≥0, как видно из экспериментальных данных, осуществляется переход к другому состоянию, которое характеризуется постоянством значений тока и напряжения.

2. Между моментами времени t=0 и t2 напряжения и токи одинаковы в любой момент времени. Поэтому на данном интервале состояние характеризуют как стационарное.

Остаётся ещё одно состояние, которое имеет место лишь при отключении источника.

Рассмотрим изменение тока и напряжения на узлах 1,1' начиная с момента размыкания ключа, полагая, как и прежде, амперметр и вольтметр приборами без инерции, Оба прибора зафиксируют падение до нуля в этот же момент времени значение тока и значение напряжения.

Рассмотрение кривых тока и напряжения позволяет определить два основных состояния, в которых может находиться электрическая цепь:

• стационареное состояние (t→∞), которое имеет место при данной функции источника.

Опыт показывает, что все цепи в стационарном состоянии можно разделить на два класса – линейные и нелинейные. Для линейных цепей характерной чертой является свойство, при котором все токи в цепи и напряжения на элементах имеют зависимость от времени такую же, какую имеет функция источника;

• переходный процесс, который имеет место при переходе из одного стационарного состояния, в частном случае из обесточенного, когда источник не подключён, в другое стационарное состояние, характер которого определяется функцией источника, если цепь линейна.

Обратимся к рассмотрению экспериментальных результатов, которые дают показания вольтметра и амперметра при изменении сопротивлении элемента R либо изменении величины функции источника (ЭДС батареи). Показания приборов будем фиксировать лишь в стационарных состояниях цепи.

Выделим два экспериментальных результата.

1. Если составить отношения U_1,1'/I_1,1' при одном и том же элементе R, меняя при этом величину ЭДС источника, то в широких пределах изменения этой величины, можно считать отношение постоянным.

2. Если ввести в рассмотрение величину напряжения на узлах источника энергии до его подключения к узлам 1,1’ цепи (электродвижущая сила источника – ЭДС, в данном случае это V1), то при некоторых R, после подключения источника будут наблюдаться показания вольтметра меньшие, чем ЭДС.

Результат под номером 1 известен как закон Ома. Это первое алгебраическое выражение в теории цепей. Следует подчеркнуть, что оно справедливо лишь для схемы на рис.1.

Здесь крайне важно для дальнейшего определения теоретических представлений, зафиксировать особенность схемы: источник энергии и резистор R подключены параллельно к узлам 1,1 и напряжение на этих двух элементах одинаковое.

Таким образом Закон Ома, утверждает, что отношение напряжения на узлах резистора к току, который протекает через эти же узлы, константа.

Этим утверждением можно воспользоваться для определения в теории элемента цепи (схемы), через описания связи между током и напряжением на узлах этого элемента.

Резистором будем называть 2-х-полюсный элемент, у которого связь между напряжением на узлах и током, по нему протекающим, определяется по формуле

U = I*R,

. (1.1а)

Константу R принято называть сопротивлением.

Второе выражение (1.1а) есть теоретическое расширение экспериментального результата (первое выражение) на случай переменных во времени ЭДС источника энергии.

В схемах, таким образом, буква R означает обозначение типа элемента, а также параметр элемента, называемый сопротивлением. Этот параметр выражается, как отношение 2-х чисел – показанием вольтметра и амперметра.

Будем считать, что величина R выражается положительным числом, если направление протекания тока на 2-х-полюснике принято совпадающим с направлением падения напряжения.

Алгебраический символ «+» у величины, определяющей сопротивление, появляется как следствие введённых геометрических направлений, показанных стрелками на схеме.

Обратите внимание на то, что происходит установление определённого единства между геометрией схемы, геометрическим представлением направлений токов и напряжений и первой алгебраической записью связи между напряжением и током.

Экспериментальный результат под номером 2.

Уменьшение величины напряжения на узлах 1,1' по сравнению с ЭДС можно истолковать как результат падения напряжения внутри источника энергии, когда замкнута внешняя по отношению к источнику цепь. Такое предположение утверждает мысль о том, что ток, протекающий по внутреннему сопротивлению, и ток во внешней цепи есть один и тот же ток в цепи данного вида.

Тем самым принимается, что на схеме изображение источника энергии должно сопровождаться с некоторым дополнительным элементом, обозначающим его внутреннее сопротивление.

Падение напряжения на нём рассматривается как результат протекания тока, как результат гальванической замкнутости и это положение вводится, на основании подобия с внешней цепью, и принимается, что внутреннее сопротивление обтекается тем же током, что и внешняя цепь (Рис.4).

Рис.4

Для рассматриваемой схемы, на основе сделанных предположений, запишем выражение, устанавливающее баланс по напряжениям и ЭДС в резистивной цепи

. (1.1б)

Рассматривая данное равенство как простое математическое выражение, можно вынести ток как общий множитель за скобки, тогда получим

Сумму чисел можно заменить одним числом R_э. Этот тривиальный ход с точки зрения линейной алгебры приводит к совершенно нетривиальному результату с позиций теории цепей:

в одноконтурной цепи представленной на рис.4, сопротивления двух резисторов можно сложить и присвоить эту величину одному элементу.

В этом случае схема примет вид

Следует обратить внимание на последовательность, с которой происходит применение схемных и чисто математических понятий.

Именно это взаимодействие и есть путь развития теории цепей.

Обратимся вновь к (1.1б), представляя его в следующем виде

, (1,1с)

и, которое можно прочитать следующим образом:

алгебраическая сумма падений напряжений на элементах контура равна нулю.

Вот и пригодились стрелки указывающие направление падения напряжения.

Применим метод создания алгебраической суммы, известный в математике как метод контурного интегрирования. Совершим обход контура по часовой стрелке через элементы V1, Ri, R, получим алгебраическую сумму, присваивая знак плюс рассматриваемой величине, если направление обхода совпадает с направлением падения напряжения и знак минус, если они противоположны.

Помимо этого факта, можно установить способ определения величины R_i, опираясь на данные по проведению экспериментальных исследований на цепи, схема которой представлена на рис.4.

Очевидно, при достижении равенства R_i = R, в процессе изменения R, напряжение U_1,1' будет равно E/2.

В процессе вариации величины внешнего сопротивления можно добиться такого положения, что продолжая изменение, например, в сторону меньших значений, мы увидим , что показания амперметра перестают изменяться.

Очевидно, что этому состоянию соответствует соотношение между сопротивлениями

R_i>>R.

В этом случае данный источник относят к классу источников тока, поскольку ток в цепи не зависит от сопротивления элементов внешней части цепи.

Если будем изменять сопротивление R в сторону возрастания , то увидим, что напряжение U_1,1' начинает приближаться к Е, и наступает состояние, при котором напряжение на узлах 1,1 перестаёт меняться и при дальнейшем росте R перестаёт изменяться.

В этом случае, будет иметь место неравенство

R>>R_i.

В этом случае источник относят к классу источников напряжения.

Из приведенного анализа следует, что один и тот же источник энергии, в зависимости от соотношений между сопротивлениями может быть отнесён к одному или другому классу.