29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

раз в год на инвестируемую сумму будут начисляться сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32% исходя из ежемесячной схемы начисления. Определите срок, необходимый для накопления требуемой суммы, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы. Какой будет срок, если налог на проценты не надо уплачивать?

2.1.72.На вклад по истечении 5 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 34% исходя из ежеквартальной схемы начисления, причем один раз в конце срока был выплачен налог на все полученные проценты. Определите годовую эффективную процентную ставку в этой финансовой сделке, если ставка налога на проценты равна 15%.

2.1.73.Предприниматель инвестировал 120 тыс. руб. на 6 лет, по истечении которых были начислены сложные проценты по переменной годовой процентной ставке, причем для первых трех лет годовая процентная ставка равнялась 22%, на следующие два года устанавливалось 28% и на последний год - 30%. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока.

2.1.74.Предприниматель инвестировал 200 тыс. руб. на 4 года, в течение которых раз в год начислялись сложные проценты по переменной годовой процентной ставке, причем для первых двух лет годовая процентная ставка равнялась 30%, на следующий год устанавливалось 34% и на последний год - 36%. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на все проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

2.1.75.Вклад 160 тыс. руб. был размещен в банке на 2 года и 8 месяцев, по истечении которых на этот вклад были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30% и вклад был востребован. После уплаты налога на проценты вкладчик стал обладателем суммы в размере 299,808 тыс. руб. Какую схему начисления процентов использовал банк, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока?

181

2.2. Сложная учетная ставка

Основные положения

• Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется в ситуации предварительного начисления сложного процента, т.е. когда сложный процент (например, за кредит или за продажу некоторого финансового документа до срока его погашения) начисляется в момент заключения финансового соглашения. В этом случае в начале каждого периода начисления проценты начисляются не на одну и ту же величину (как при дисконтировании по простой учетной ставке), а каждый раз на новую, полученную в результате дисконтирования, осуществленного в предыдущем периоде.

•Для лица, осуществляющего предварительное (антисипативное) начисление процентов, а следовательно, и дисконтирование, более выгодным является дисконтирование по сложной учетной ставке, если срок учета менее одного года; более выгодным является дисконтирование по простой учетной ставке, если срок учета превышает один год; дисконтирование в обоих случаях дает один и тот же результат, если срок учета равен одному году.

•Если срок, за который осуществляется дисконтирование, не равен целому числу лет, то при определении стоимости учтенного капитала, как правило, используют либо сложную учетную ставку, либо смешанную схему (применяется сложная учетная ставка для целого числа лет и простая учетная ставка - для дробной части года). Стоимость учтенного капитала будет больше при использовании смешанной схемы. Аналогичные способы дисконтирования применяются и в том случае, когда дисконтирование производится не один, а несколько раз в году.

•С ростом в году числа операций дисконтирования по номинальной учетной ставке величина учтенного капитала возрастает.

•Эффективная годовая учетная ставка обеспечивает тот же результат, что и дисконтирование несколько раз в году по номинальной учетной ставке, деленной на число периодов дисконтирования.

182

• Эффективная учетная ставка определяется и как ставка, обеспечивающая переход от исходной суммы к учтенной при однократном дисконтировании за базовый период (например, за год), т.е. не используется явным образом номинальная учетная ставка.

Вопросы для обсуждения

1.В каких случаях может осуществляться дисконтирование по сложной учетной ставке?

2.Опишите подробно, как осуществляется дисконтирование по сложной годовой учетной ставке при продаже некоторого долгового обязательства за три года до срока погашения.

3.Какой вид имеет множитель дисконтирования при дисконтировании по сложной учетной ставке?

4.Как связаны между собой дисконтирование по сложной учетной ставке и проценты "со 100 "?

5.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по простой и по сложной учетным ставкам?

6.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по сложной учетной и по сложной процентной ставкам?

7.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по простой процентной и по сложной учетной ставкам?

8.Какие два основных способа дисконтирования, связанные со сложной учетной ставкой, вы знаете? Какой из них выгоднее для лица, осуществляющего учет?

9.Может ли учет по сложной учетной ставке привести к недопустимым на практике величинам?

10.Какая годовая учетная ставка называется номинальной?

11.Что происходит с величиной учтенного капитала, если растет число осуществлений операции дисконтирования по сложной учетной ставке?

12.Какая ставка называется эффективной годовой учетной ставкой? От каких параметров она зависит?

13.Как ведет себя эффективная годовая учетная ставка с увеличением числа периодов дисконтирования в году?

183

14.Как пояснить с финансовой точки зрения соотношение между эффективной и номинальной учетными ставками?

15.В каком случае эффективная годовая учетная ставка совпадает с номинальной?

16.Что происходит с величиной номинальной учетной ставки при определении ее через эффективную годовую учетную ставку, когда число операций дисконтирования в году растет?

17.Какие номинальные учетные ставки называются эквивалентными?

18.Приведите формулу наращения по сложной учетной ставке.

19.Как можно связать между собой наращение по сложной учетной ставке и проценты "во 100"?

20.Какая из ставок, сложная учетная или такая же по величине сложная процентная, обеспечивает более быстрый рост капитала при наращении?

21.Как соотносятся между собой результаты наращения по простой процентной и сложной учетным ставкам?

22.Что можно сказать о декурсивном и антисипативном способах начисления сложных процентов, когда период начисления уменьшается?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.2.1. Найдите величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 40 тыс. руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке: а) 20% годовых; б) 25% годовых.

Решение, а) Полагая п = 3, F3 =40 тыс. руб., d = 02, по формуле (67) получим:

Р = 40(1 - ОД)3 = 20,48 тыс. руб. Поэтому дисконт составит:

Dd = 40-20,48 = 19,52 тыс. руб. б) Так как в этом случае d = 0,25, то

Р = 40(1-0Д5)3 = 16,875 тыс.руб., Dd =40-16,875 = 23Д25 тыс.руб.

184

Видно, что с ростом учетной ставки уменьшается дисконтированная величина выплаты по долговому обязательству и, следовательно, увеличивается величина дисконта.

Пример 2.2.2. Вексель на сумму 70 тыс. руб. со сроком погашения через 4 года учтен за 32 месяца по сложной учетной ставке 24% годовых. Определите суммы, которые получит предьявитель векселя при различных способах учета векселя.

Решение. При применении только сложной учетной ставки воспользуемся формулой (67). Так как дисконтирование производится один раз в год, то л = 32/12 = 8/3. Далее Fn =70 тыс. руб., d = 0,24, поэтому:

8 Р = 70(1 - 0,24)3 = 33,672 тыс. руб.

Если же использовать при учете смешанную схему, то при w=2, / = 2/3 по формуле (68) получим:

Р = 70(1 - 0^4)2(1 - 1 - 0,24) = 33,963 тыс. руб.

Таким образом, предъявитель векселя получит больше при использовании смешанной схемы.

Пример 2.23. Рассчитайте дисконтированную сумму при учете 1 млн руб. по простой и сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна 18% годовых и учет происходит за 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 2 года, 3 года, 5 лет. Полагать каждый год равным 360 дней.

Решение. Применяя при F = Fn = 1 млн руб. и 4 = ОД 8 для простой учетной ставки формулу (19), а для сложной - формулу (67), получим следующие результаты, представленные для наглядности в табличном виде:

(млн руб.)

185

Таким образом, если вексель на сумму 1 млн руб. учитывается, когда до срока погашения остается меньше года, то для векселедержателя более выгоден учет по простой учетной ставке. Так, при учете за 90 дней до срока погашения векселедержатель получит: при использовании простой ставки - 955 тыс. руб.; при использовании сложной учетной ставки - 951,6 тыс. руб., т.е. разница между суммами составляет 3,4 тыс. руб. Если же учет векселя осуществляется, когда до срока погашения остается больше года, то для векселедержателя более выгоден учет по сложной учетной ставке.

Заметим, что дисконтирование по простой учетной ставке за срок более чем 5,56 года, приводит к не допустимым на практике величинам (будем получать отрицательные значения дисконтированных сумм). Однако учет по сложной учетной ставке всегда дает положительные дисконтированные величины. Например, при учете за 15 лет получим: Р = 1 • (1 - ОД8)15 = 0,0510 млн руб.

Пример 2.2.4. Долговое обязательство на выплату 46 тыс. руб. учтено за 4 года до срока погашения. Определите полученную сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное; в) помесячное дисконтирование по номинальной учетной ставке 24% годовых.

Решение. Во всех случаях полагаем п- 4, Fn = F2 =46 тыс. руб. и пользуемся формулой (69).

а) Так как ж= 2, d{m)=d{2)= 0,24,то:

б)Поскольку m = 4, d{m) = d{A) = 0,24,то:

= 17,443 тыс. руб.

186

Сравнивая полученные результаты, видим, что с ростом числа осуществлений операции дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.

Пример 2.2.5. Определите, какую сумму получит владелец векселя на 30 тыс. руб. со сроком погашения через 25 месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной

то

Очевидно, для векселедержателя выгоднее смешанная схема. Пример 2.2.6. За долговое обязательство в 80 тыс. руб. банком было выплачено 62 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась: а) годовая сложная учетная ставка 28%, б) годовая простая

учетная ставка 28%?

Решение, а) Полагая в формуле (71) Р - 62 тыс. руб.,

1 6 2

п еУ— = 0,776 года. 1п(1 - 0,28)

Считая, что в году 360 дней, находим п = 360 0,776 = 279,36 дня. Округляя полученный срок до целого числа дней, делаем вывод, что долговое обязательство было учтено за 280 дней до срока погашения.

187

б) В случае простой учетной ставки воспользуемся формулой (22), где F = 80 тыс. руб., d = 0,28:

80 — 62

п = • = 0,804 года, или 289,44 дия. о0 • 0,28

Таким образом, п = 290 дней.

Пример 2.2.7, Вексель был учтен за 2,5 года до срока погашения, при этом владелец векселя получил четверть от написанной на векселе суммы. По какой годовой номинальной учетной ставке был учтен этот вексель, если производилось: а) поквартальное дисконтирование; б) помесячное дисконтирование?

Решение, а) Применяя формулу (72), в которой Р = 0,25F„, п = 2,5, т = 4, получим:

1 </(*) =4(1 - О ^ 4 2 » 5 ) = 0,5178,т.е. </№ =51,78%.

б) Если т = 12, то

1

</(12) = 12(1 - 0Д512'2-5 ) = 0,5419, т.е. rf(12) = 54,19%.

Таким образом, чем большее количество раз в году производится дисконтирование, тем больше величина годовой номинальной учетной ставки.

Пример 2.2.8. Рассчитайте эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта и номинальной учетной ставке, равной 18% годовых.

Решение. Используя формулу (74), вычислим для некоторых значений т эффективную годовую учетную ставку и результаты запишем в табличном виде:

Из таблицы следует, что de j уменьшается с ростом т (так как

второе слагаемое в правой часта равенства (74) увеличивается). Вообще можно показать, что при т > 1 справедливо неравенство

которое нетрудно пояснил» и из финансовых сообра-

жений.

188

Пример 2.2.9. Определите номинальную учетную ставку, если годовая эффективная учетная ставка равна 30% и дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется: а) каждые полгода; б) ежемесячно; в) ежеквартально.

Решение. Полагаем def = 03 и пользуемся формулой (73). а) Так как т = 2, то

</(2) =2[1- (1-ОЗЯ] -0,3267, или 32,67%. б) Поскольку в этом случае т-12 , то

Найденные номинальные ставки d , d ^ и d э к в и в а - лентны, так как они получены в соответствии с одной и той же эффективной ставкой. Поэтому осуществление дисконтирования раз в год по сложной учетной ставке 30% годовых дает такой же результат, как осуществление дисконтирования 2 раза в год по ставке 32,67% годовых, или 12 раз в год по ставке 35,14% годовых, или каждый день (360 раз в год) по ставке 35,65% годовых. Отметим,

что </(2 W2 >«/<3 6 0 > т.е. величина номинальной учетной ставки растет, когда количество осуществлений дисконтирования в году увеличивается. Аналогичное неравенство справедливо и в общем

случае, а именно: пусть d ^ и d ^ - эквивалентные номинальные

годовые учетные ставки и m > /, тогда

Пример 2.2.10. Вексель на сумму 12 тыс. руб. со сроком погашения через 3 года 6 месяцев был сразу же учтен в банке, и предъявитель векселя получил 5 тыс. руб. Найдите эффективную готовую учетную ставку в этой финансовой операции.

Решение. Подставляя в формулу (75) п = 3,5, Р = 5, F3 5 =12,

189

Пример 2.2.11. По условиям финансового соглашения на сумму 90 тыс. руб., помещенную в банк на 5 лет, начисляются проценты по сложной учетной ставке 24% годовых. Определите наращенную сумму, если начисление процентов производится: а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Сравните полученные величины с результатами наращения сложными процентами по процентной ставке 2,4% годовых.

Решение. Будем пользоваться формулой (77), где Р = 90 тыс. руб., и = 5, d = tfW = d = 0,24 . Полагая последовательно т = 2, т = 4, т = 12, получим:

90

в) Fs =нет— j j j = 302,467 тыс. руб.

Полезно заметить, что во всех случаях можно было воспользоваться и формулой (76), полагая число периодов равным соответственно 10, 20 и 60, а учетные ставки - 12% (24% : 2), 6% (24% : 4) и 2% (24% : 12).

Если бы наращение сложными процентами осуществлялось с помощью процентной ставки, то для вариантов а), б), в) получили бы по формуле (58) следующие значения наращенных сумм:

190