43
5.2. Способ секущих сфер
Возможны два варианта применения способа сфер:
1.Все вспомогательные сферы проведены из одного центра - способ концен-
трических сфер.
2.Центр вспомогательных сфер меняет свое положение - способ эксцентри-
ческих сфер.
Мы будем рассматривать лишь способ концентрических сфер.
Применение способа концентрических сфер при построении линии пересечения поверхностей ограничивается тремя условиями:
1)обе заданные поверхности должны быть поверхностями вращения;
2)оси пересекающихся поверхностей должны быть параллельными плоскости проекций;
3)оси заданных поверхностей должны пересекаться.
Первое условие вытекает из требования к поверхностям посредникам. Из-
вестно, что сфера пересекается с любой поверхностью вращения по окруж-
ности, если ее центр находится на оси этой поверхности.
На рис. 56 сфера Ф, имеющая свой центр О на оси цилиндра Ψ и конуса Q, пересечет поверхности этих фигур по окружностям m и n. Очевидно, что полученные окружности в общем случае будут проецироваться в виде эллипсов, но если оси поверхностей вращения расположить параллельно плоскости проекций, то окружности, находящиеся на этих поверхностях, изобразятся в виде отрезков. Этим объясняется необходимость второго условия применения способа сфер. Например, на рис. 57 отрезки m2 и n2 - фронтальные проекции окружностей m и n, являющихся результатом пересечения сферы с поверхностями конуса и цилиндра. Следует заметить, что крайние точки проекций окружностей m2 и n2 определяются точками пересечения очерковых образующих (см. рис. 57).
Рис. 56 |
Рис. 57 |
44
Третье условие применения способа сфер исходит из очевидного обстоятельства: центр вспомогательных секущих сфер должен находиться на оси каждой из заданных поверхностей. Это возможно лишь в том случае, если он находится в точке пересечения осей (рис. 58).
Приведенные выше размышления подтверждают необходимость наличия всех трех условий для обеспечения возможности использования способа сфер.
На рис. 59 показано получение точек, общих для цилиндров Ψ и Q. Для этого проведена сфера Ф с центром, который находится в точке пересечения осей цилиндров. Эта сфера пересекает цилиндр Ψ по окружности m (m2), а цилиндр Q - по окружности n (n2) (см. рис. 58, 59).
Рис. 58 |
Рис. 59 |
Так как окружности m и n находятся на поверхности одной сферы Ф, то они пересекутся в точках А и В (рис. 60). На чертеже (см. рис. 59) фронтальные проекции этих точек определятся в пересечении отрезков m2 и n2, являющихся проекциями окружностей m и n.
Для определения других точек, принадлежащих линии пересечения заданных поверхностей, необходимо провести несколько сфер различного радиуса.
Для исключения лишних построений подобную задачу следует начинать с определения предельных значений радиусов вспомогательных сфер.
Рис. 60
45
Величина радиуса наибольшей сферы (Rmax) определится расстоянием от центра вспомогательных сфер до более удаленной точки пересечения очерковых образующих. В рассматриваемом примере величина Rmax равна расстоянию
О2М2 (рис. 61).
Рис. 61
Для определения величины радиуса наименьшей сферы (Rmin) из центра вспомогательных сфер проводятся перпендикуляры (нормали) к очерковым образующим заданных поверхностей. Больший по величине перпендикуляр принимается за Rmin. На рис. 61 Rmin = О2К2.
Рис. 62
46
Рассмотрим пример использования способа концентрических сфер и сформулируем последовательность происходящих при этом действий.
Пример. Построить линию пересечения поверхностей двух конусов (рис. 63).
1.Проверяется наличие трех условий, без которых применение способа концентрических сфер невозможно. В данном примере обе пересекающиеся поверхности - поверхности вращения, оси которых пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций.
2.Проводится общая для задан-
ных фигур плоскость симметрии Σсим (Σ1сим) (см. рис. 63). Находящие-
ся в ней очерковые образующие заданных поверхностей пересекутся в точках А(А2) и В(В2), которые определят соответственно наивысшую и наинизшую точки линии пересечения.
3. Определяются предельные величины радиусов вспомогательных сфер. Центр вспомогательных сфер будет в точке пересечения осей – точке О. Величина Rmax определится расстоянием О2В2 (рис. 64).
Рис. 63
Для нахождения величины Rmin из точки О проводятся перпендикуляры к очерковым образующим конусов. Больший из них даст величину Rmin (см. рис. 64).
Рис. 64
47
4. Проводится сфера радиуса Rmin и определяются сначала фронтальные проекции точек С и D (C2 и D2) линии пересечения, а затем с помощью окружности h их горизонтальные проекции – C1 и D1 (рис.65).
Рис. 65
5. Определяются промежуточные точки линии пересечения. Для этого проводятся вспомогательные сферы, величины радиусов которых находятся в пре-
делах: Rmax> R > Rmin (рис. 66).
6. Если проекции линии пересечения меняют свою видимость, то необходимо определить точки видимости. В данном примере они найдены следующим образом. Сначала строится фронтальная проекция линии пересечения (рис. 67).
48
На ней видимость не меняется, так как видимая и невидимая части линии пересечения совпадают. На горизонтальной же проекции видимость меняется в точках К и L, находящихся в горизонтальной плоскости Гвид. Плоскость Гвид проходит через образующие конуса k и l, на горизонтальных проекциях которых (k1 и l1) с помощью линии проекционной связи и определятся горизонтальные проекции точек видимости K1 и L1 (см. рис. 67).
Рис. 66 |
Рис. 67 |
7. С учетом видимости соединяются построенные точки линии пересечения (рис. 68). Также с учетом видимости обводятся проекции очерков заданных фигур. Например, в данной задаче горизонтальные проекции образующих k и l (k1 и l1) видимы лишь до точек K1 и L1. Поэтому до этих точек они обведены сплошной толстой основной линией (см. рис. 68).
49
Рис. 68
Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур
50