38
5. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
В общем случае для определения результата пересечения геометрических фигур используется способ вспомогательных секущих поверхностей по-
средников.
Пусть даны некоторые геометрические фигуры Ψ и Q (рис. 48).
Пересечем их вспомогательной поверхностью Σ (рис. 49). При этом поверхность Ψ пересечется по линии m, а поверхность Q - по линии n.
Так как полученные линии находятся на одной поверхности Σ , то они пересекаются, а точки их пересечения А и В принадлежат линии пересечения заданных фигур Ψ и Q (рис. 50).
Рис. 48 |
Рис. 49 |
Рис. 50 |
Таким образом, можно сделать вывод, что в общем случае для определения результата пересечения геометрических фигур необходимо выполнить три действия:
1)ввести вспомогательную секущую поверхность Σ (см. рис. 49);
2)определить линии, по которым вспомогательная поверхность Σ пересекается с каждой из заданных поверхностей: m = Σ ∩ Ψ и n = Σ ∩ Q;
3)в пересечении полученных линий m и n найти точки А и В, принадлежащие искомой линии пересечения поверхностей заданных фигур (см. рис. 49 и 50).
Изменяя положение вспомогательной поверхности и повторяя приведенные выше действия, определяют необходимое количество точек, общих для заданных фигур.
Чаще всего в качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников используют плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций (то есть проецирующие плоскости или плоскости уровня), а также сферы.
Взависимости от вида вспомогательных секущих поверхностей различают:
1)способ вспомогательных секущих плоскостей;
2)способ секущих сфер.
Выбор вспомогательных секущих поверхностей-посредников зависит от осо-
бенностей пересекающихся фигур, от их положения относительно плоскостей
39
проекций и подчиняется следующему правилу:
поверхность-посредник должна пересекать поверхности заданных фигур по графическим простым линиям - прямым или окружностям, причем окружности должны проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажения.
5.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей
Рассмотрим пример использования вспомогательных секущих плоскостей для определения линии пересечения поверхностей и сформулируем последовательность необходимых при этом действий.
Пример. Построить линию пересечения поверхностей конуса Ψ и шара Q (на рис. 51 дан рисунок и чертеж этих фигур).
Рис. 51
1.Выбираются вспомогательные секущие плоскости. Известно, что они должны пересекать поверхности заданных фигур по прямым линиям или по окружностям. Причем окружности должны проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажений. Поэтому в данном примере в качестве вспомогательных плоскостей следует взять горизонтальные плоскости (плоскости, па-
раллельные П1). Только такие плоскости пересекут обе заданные поверхности по окружностям, которые на фронтальной плоскости проекций будут проецироваться в виде отрезков прямых, а на горизонтальной плоскости проекций - в виде окружностей.
2.Строятся линии пересечения каждой вспомогательной плоскости с заданными поверхностями. В данном примере вспомогательная горизонтальная плоскость Σ(Σ2) пересечет поверхности Ψ и Q по окружностям m и n (рис. 52).
40
Рис. 52 3. Определяются точки пересечения линий, лежащих в одной вспомога-
тельной плоскости Σ, но принадлежащих разным поверхностям (точки А и В)
(рис. 53).
Рис. 53 4. Повторяются действия 1 - 3 для получения достаточного количества точек,
общих для поверхностей обеих пересекающихся фигур.
При этом в первую очередь определяются характерные (опорные) точки, понятие о которых дано в разделе 4. Построение характерных точек показано на рис. 54 и 55.
41
Рис. 54 Рис. 55 Во фронтальной плоскости симметрии Гсим ( Ã1ÑÈÌ ) находятся очерковые об-
разующие шара и конуса, фронтальные проекции которых пересекаются в точках С2 и D2, При этом точка С наивысшая, а точка D - наинизшая точки линии пересечения (см. рис. 54).
Вспомогательная горизонтальная плоскость Т (Т2), проходящая через экватор шара, пересекает поверхность шара по окружности b, а поверхность конуса - по окружности а. В их пересечении получаются точки видимости М и Е (см. рис. 55).
5. Определяется видимость полученных точек. (Практика показывает, что видимость отдельных точек лучше устанавливать по мере их нахождения. При этом невидимые проекции точек следует указывать в скобках). Строятся проекции линии пересечения заданных поверхностей путем соединения найденных точек. При этом видимая часть этой линии проводится сплошной толстой основной линией, а невидимая - штриховой (рис. 55).
1)Видимые очерки пересекающихся фигур обводятся сплошной толстой линией, а невидимые - сплошной тонкой (см. рис.55).
При решении задач способом вспомогательных секущих плоскостей необходимо придерживаться последовательности, приведенной в рассмотренном выше примере. При этом в каждом конкретном случае количество и положение вспомогательных секущих плоскостей зависит от характера пересекающихся фигур, а также от их положения относительно друг друга и относительно плоскостей проекций.
Построить линии пересечения поверхностей заданных фигур
42