19

3. ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

При решении задач большое значение имеет положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций.

Геометрические фигуры могут занимать по отношению к плоскостям проекций общее или особое положение. Фигуры, расположенные произвольно относительно плоскостей проекций, называют фигурами общего положения, фигуры же, которые перпендикулярны по отношению к плоскостям проекций, - фи-

гурами частного положения.

Фигуры частного положения, в свою очередь, делятся:

на фигуры уровня – фигуры, перпендикулярные двум плоскостям проекций (т.е. параллельные третьей),

и проецирующие фигуры – фигуры, перпендикулярные всего одной плоскости проекций.

Так как при прямоугольном проецировании лучи проецирования перпендикулярны плоскостям проекций, то проецирующими являются прямые, плоскости и поверхности, совпадающие с лучами проецирования. Таким образом, про-

ецирующими могут быть: прямые и плоскости, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 33), призматические и цилиндрические поверхности, ребра и образующие которых также перпендикулярны какой-либо плоскости проекций

(рис. 34).

Перечисленные геометрические фигуры можно представить состоящими из лучей проецирования. Каждый из этих лучей при пересечении с плоскостью проекций изображается точкой, поэтому проецирующая прямая проецируется в точку, проецирующая плоскость – в прямую, проецирующая призма – в многоугольник, а проецирующий цилиндр – в окружность. На основании этих наблю-

дений можно сформулировать следующее свойство проецирующих фигур:

20

проекция проецирующей фигуры на плоскость, которой перпендикулярна фигура, имеет меньшую размерность, чем сама фигура. Полученную в этом случае проекцию принято называть вырожденной.

По рис. 33 можно сделать вывод, что все точки, находящиеся на прямой l, проецируются на плоскость П1 в одну точку l1, являющуюся вырожденной проекцией прямой l. Очевидно также, что проекции всех точек плоскости треугольника ABC на плоскость П1 будут находиться на отрезке A1C1, который является вырожденной проекцией треугольника на горизонтальной плоскости проекций (см. рис. 33).

Проекции точек, лежащих на проецирующих поверхностях призмы и цилиндра, на плоскость П2 окажутся на их вырожденных проекциях (т.е. соответственно на треугольнике или на окружности) (см. рис. 34).

Таким образом, можно сформулировать еще одно свойство проецирующих фигур:

проекции точек и линий, лежащих на поверхностях проецирующих фигур, на ту плоскость проекций, по отношению к которой фигура проецирующая, совпадают с вырожденной проекцией этих фигур.

Эти два свойства проецирующих фигур в дальнейшем будут очень часто использоваться, поэтому следует понять их смысл и запомнить.

Условимся первое из сформулированных выше свойств называть свойством вырождения, а второе – собирательным свойством проецирующих фигур.

В зависимости от того, по отношению к какой плоскости проекций прямые, плоскости или поверхности геометрических фигур перпендикулярны, их называют:

горизонтально проецирующими (рис. 35);

Рис. 35

21

Рис. 36

Рис. 37

22

Напоминаем, что проекции точек, закрытых поверхностью фигуры (т.е. невидимые проекции точек), мы условились указывать в скобках. Примеры неви-

димых проекций точек: А2, L2 (см. рис. 35); E1, N1 (см. рис. 36); L2, L1, N2, N1 (см. рис. 37).

4. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

В СЛУЧАЕ, КОГДА ХОТЯ БЫ ОДНА ИЗ НИХ ПРОЕЦИРУЮЩАЯ

Решение задач в этом случае основано на использовании изученных ранее свойств проецирующих фигур: вырождения и собирательного.

Рассмотрим представленные на рис. 38 конус и фронтально проецирующий цилиндр (т.е. цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости П2).

Рис. 38

Очевидно, что фронтальной проекцией поверхности цилиндра и, соответственно, всех точек, лежащих на поверхности цилиндра, будет окружность (вырожденная проекция цилиндра). Так как линия пересечения заданных фигур находится на поверхности цилиндра, то по собирательному свойству проецирующих фигур ее проекция должна совпасть с вырожденной проекцией цилиндра (см. рис. 38). Очевидно, что подобное справедливо для любых пар геометрических фигур, при условии, что одна из них проецирующая. Поэтому можно сформулировать следующее правило:

если геометрическая фигура занимает проецирующее положение, то од-

23

на проекция линии ее пересечения с любой другой геометрической фигурой совпадет с вырожденной проекцией этой фигуры.

Так как обратимый чертеж выполняется не на одну плоскость проекций, то возникает необходимость нахождения проекций линии пересечения на те плоскости проекций, по отношению к которым фигура не проецирующая. Эти проекции можно построить исходя из условия принадлежности точек искомой линии поверхности второй из заданных геометрических фигур.

Приведенные выше рассуждения позволяют определить последователь-

ность действий при построении линии пересечения геометрических фигур в случае, когда одна из них занимает проецирующее положение:

1.Определяется вырожденная проекция проецирующей фигуры.

2.Выделяется та часть вырожденной проекции фигуры, которая одновременно принадлежит обеим пересекающимся фигурам. (Она и будет являться одной из проекций искомой линии пересечения поверхностей геометрических фигур).

3.Находится другая проекция линии пересечения из условия принадлежности точек этой линии поверхности второй из заданных фигур.

4.Определяется видимость проекций линии пересечения и очерков заданных

фигур.

Используем приведенный алгоритм при решении ряда примеров.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса фронтально проецирующей плоскостью Σ (Σ 2) (рис.39).

Выполним необходимые для решения примера действия:

1.Заданная плоскость – фронтально проецирующая, следовательно, на фронтальной плоскости проекций она изобразится прямой линией, которая совпадет с

фронтальным следом плоскости Σ - Σ2 (вырожденная проекция секущей плоскости).

2.Отрезок А2В2 (часть вырожденной проекции секущей плоскости Σ) есть фронтальная проекция линии сечения. Его следует обвести сплошной толстой основной линией (рис. 39).

3.Горизонтальные проекции точек А и В определятся из условия их принадлежности очерковым образующим конуса l и k.

Рис. 39 Горизонтальные проекции остальных точек линии пересечения можно найти

с помощью вспомогательных окружностей, проведенных на поверхности кону-

24

са. На рис. 40 показано построение точек С и D с помощью окружности h, а на рис. 41 - точек М и Е посредством окружности n.

Рис. 40 Рис. 41 Горизонтальная проекция линии сечения (эллипс) обводится сплошной тол-

стой основной линией, так как линия сечения видима. Она находится на поверхности конуса, обращенного вершиной к наблюдателю. При этом вся поверхность конуса видима, а, следовательно, видима и находящаяся на ней линия сечения (см. рис. 41).

Пример 2. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра и шара (рис. 42).

Так как одной из пересекающихся фигур является горизонтально проецирующий цилиндр, то для решения примера необходимо выполнить известные 4 действия:

1.Определить вырожденную проекцию проецирующей фигуры. В данном примере цилиндр горизонтально проецирующий и на

плоскость проекции П1 вырождается в окружность l1 (см. рис. 42).

2.Поверхностям обеих пересекающихся фигур будет принадлежать только часть окруж-

25

Эта часть окружности и будет представлять горизонтальную проекцию искомой линии пересечения.

3. Фронтальную проекцию линии пересечения заданных поверхностей (l2) определяют из условия принадлежности ее точек поверхности шара. Для этого на поверхности шара проводят окружности m, n, c, d и k, которые на П1 проецируются в отрезки прямых m1, n1, c1, d1 и k1 (рис. 43), а на П2 - в дуги окружностей m2, n2, c2, d2 и k2. На каждой из этих линий находятся проекции соответствующих точек линии пересечения заданных поверхностей.

Рис. 43

Фронтальные проекции точек А и В находятся с помощью окружности h, которая на плоскости проекции П2 изображается отрезком прямой h2.

4. Обе проекции искомой линии пересечения (l1 и l2) обведены сплошной толстой основной линией (см. рис. 43), так как l1 совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, а в линию l2 проецируются фронтальные проекции всех точек линии пересечения, как видимых, так и невидимых.

26

Пример 3. Построить линию пересечения поверхностей шара и цилиндра

(рис. 44).

Рис. 44

Решение примера:

1. Как и в примере 2, поверхность горизонтально проецирующего цилиндра вырождается на П1 в окружность l1 (см. рис. 44).

2.Дуга окружности l1, заключенная между точками A1 и B1, будет представлять горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей заданных фигур.

3.Фронтальная проекция искомой линии пересечения определится из условия принадлежности точек этой линии поверхности шара. При этом в первую очередь следует определить характерные (опорные) точки линии пересечения.

Характерными точками являются:

а) точки, удаленные на минимальное и максимальное расстояние от плоскостей проекций. Их иногда называют экстремальными точками;

б) точки видимости - точки, разделяющие видимую и невидимую части линии пересечения;

в) точки, принадлежащие очерковым образующим заданных поверхно-

стей.

Характерными точками в рассматриваемом примере будут:

27

1)точка С, находящаяся на очерке сферы (рис.45);

2)точка D - самая близкая к плоскости проекций П2;

3)точка Е - наиболее удаленная от П1 точка искомой линии пересечения (т.е. наивысшая точка линии пересечения). Для определения ее горизонтальной про-

екции E1 необходимо провести плоскость симметрии заданных фигур - Σсим

4) точка М - крайняя правая точка линии пересечения. Эта точка отделяет видимую часть линии пересечения от невидимой (точка видимости).

Рис. 45

28

Между характерными точками линии пересечения можно построить любое количество промежуточных (случайных) точек. Как правило, их определяют в тех местах, где возникает сомнение в характере соединения уже найденных точек.

На рис. 45 показан пример построения фронтальной проекции промежуточной точки К. Последовательность необходимых при этом действий показана на рисунке стрелками и обозначена цифрами 1 - 4.

Следует заметить, что построение фронтальных проекций характерных точек С, D, Е и М производится посредством аналогичных действий.

4. Завершающим этапом решения задач на пересечение геометрических фигур является определение видимости точек линии пересечения и видимость очерковых образующих заданных фигур. В данном примере видимость необходимо устанавливать лишь на фронтальной плоскости проекций, так как горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра.

Для определения видимости фронтальной проекции линии пересечения необходимо проанализировать расположение ее горизонтальной проекции относительно горизонтальных проекций очерковых образующих заданных фигур m1, n1 и f1 (рис. 46).

Очевидно, что в рассматриваемом примере на П2 будут видимы лишь те точки линии пересечения, горизонтальные проекции которых расположены ниже горизонтальных проекций очерковых образующих цилиндра, то есть

ниже точек m1 и n1.

На рис. 46 видимые на фронтальной проекции точки и соответствующие им горизонтальные их проекции показаны крестиками. Точки же линии пересечения, расположенные выше m1 и n1, на фронтальной проекции будут невидимы, так как они закрыты поверхностью цилиндра. Линия, определяемая этими точками, на рис. 46 выполнена штрихпунктирной.

фигур. Фронтальная проекция образующей n – n2 будет полностью видимой, а образующей m - m2 лишь до точки М2, так как ниже точки М2 она находится внутри шара. Фронтальная проекция очерка шара - f2 с правой стороны будет видима лишь до ее пересечения с прямой m2. Дальше она невидима, так как скрыта поверхностью цилиндра (см. рис. 46).

29

На рис. 47 показано решение примера в окончательном виде.

Рис. 47

Рассмотренные выше примеры позволяют заметить, что при решении задач на пересечение поверхностей геометрических фигур следует обязательно

определить:

1)точки, расположенные на очерковых образующих заданных поверхностей, так как на них находятся точки видимости;

2)точки, лежащие в общей для заданных фигур плоскости симметрии, так как в ней определяются наивысшая и наинизшая точки линии пересечения.

1. Построить проекции линии пересечения поверхностей плоскостями

30

2. Построить проекции линии пересечения поверхностей плоскостями

31

3. Построить проекции линий, образующихся на поверхностях геометрических фигур в результате выреза в них сквозного отверстия

32

33 4. Построить проекции линий, образующихся на поверхности шара в результате

выреза в нем сквозного отверстия

5. Построить проекции линий, образующихся на поверхностях геометрических фигур в результате выреза в них сквозного отверстия

34

6. Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур

35

7. Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур

36

8. Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур

37