- •Случайные величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дискретные случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные распределения непрерывных случайных величин
- •Математическая статистика
- •Выборочный метод
- •Статистические оценки параметров распределения
Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины
Чтобы однозначно задать н.с.в., необходимо указать ее функцию распределения.
Определение. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная функция с непрерывной производной.
Вероятность того, что н.с.в. примет значение из некоторого интервала, определяется формулой: .
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет некоторое конкретное значение равна нулю: . |
Поскольку вероятность того, что н.с.в. примет конкретное значение, справедливо следующее равенство:
.
Пример 1. Н.с.в. X задана функцией распределения . Найти вероятность того, что величина X примет значение, заключенное в интервале (0;1).
.
Определение. Производная от функции распределения непрерывной случайной величины X называется плотностью распределения вероятностей X: .
Связь между функцией распределения и плотностью распределения:
Свойства плотности распределения:
;
(условие нормированности);
если все возможные значения н.с.в. лежат внутри интервала (a;b), то ;
вероятность того, что н.с.в. примет значение из некоторого интервала, равна .
Пример 2. Н.с.в. X задана плотностью распределения на интервале. Найти константу C и вероятность того, что величина X примет значение, заключенное в интервале (0;0.5) и (0;2).
Исходя из условия нормированности н.с.в. .
.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) называется число:
, если указанный интеграл абсолютно сходится, в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.
Если н.с.в. определена на интервале (a;b), то математическое ожидание определяется по формуле:
Все свойства математического ожидания дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) называется число:
.
Если н.с.в. определена на интервале (a;b), то дисперсия определяется по формуле:
.
Все свойства дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.
Для непрерывных случайных величин теорема может быть записана в виде:
Пример 3. Н.с.в. X задана функцией распределения на интервале. Найти математическое ожидание и дисперсию н.с.в. X.
Найдем плотность распределения: .
Математическое ожидание: .
Математическое ожидание квадрата с.в.: .
Дисперсия:
Определение. Мода – это значение абсциссы xmod, при котором кривая плотности распределения имеет максимум. Мода указывает положение высоко вероятной области значений с.в.
Определение. Медиана – это значение абсциссы xmed, при котором фигура под кривой плотности распределения делится на две равновеликие части, площади которых равны по 0.5 каждая, то есть F(xmed)=0.5.
Определение. Квантиль – это значение абсциссы xq, которое является решением уравнения F(xq)=q.
Квантиль xq называется q-ой или q·100-процентной квантилью функции распределения (или плотности распределения, или случайной величины). В частности медиана является 50-процентной квантилью.
Наиболее употребительные квантили:
квартиль - 25 - процентная квантиль, дециль - 10 - процентная квантиль.