Образец выполнения

Условия задачи.Плоский механизм состоит из стержней1–4и ползунаB;O₁иO₂неподвижные шарнирные опоры (рис.8а). Длины стержней:l₁= 0,4 м,l₂= 1,2 м,l₃= 1,4 м,l₄= 0,8 м. Положение механизма определяется углами= 120,= 60,= 90,= 0,= 30. Известна угловая скорость стержня1: ₁= 5 с^-1.

Определитьскоростиv_B,v_E, ₃.

Решение.Изображаем положение механизма в соответствии с заданными углами (рис.8б).

Из условий задачи ясно, что стержень 1вращается с угловой скоростью ₁= 5 с^-1 вокруг неподвижной оси, проходящей через точкуO₁. Следовательно, модуль вектораv_Aскорости точкиАнаходится по известной формуле

v_A= ₁·AO₁= ₁ ·l₁ = 5с^-1 · 0,4м = 2 м/с ,

а направление v_AперпендикулярноAO₁.

а)

б)

Рис. 8

Определим теперь v_E- скорость точкиЕ, которая принадлежит стержню2. Для её нахождения достаточно знать скорость какой-либо другой точки стержня2, напримерv_A, и направление вектораv_E.

Заметим, что точка Eпринадлежит стержнюO₂Е, который вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точкуO₂ , следовательно,v_EEO₂. Для нахождения величиныv_Eиспользуем теорему о равенстве проекций скоростей точекАиЕтвердого тела (стержня2) на отрезокАЕ, который их соединяет [1,c.131]:

. (1)

Предварительно установим, в какую сторону направлен вектор v_E. Проекции скоростейv_Aиv_Eна отрезокАЕдолжны иметь одинаковые знаки, следовательно векторv_Eнаправлен вниз, и звено4вращается против хода часовой стрелки (рис.8б). Из равенства проекций (1) получим :

v_Acos30=v_Ecos60,

откуда v_E=v_Acos30/cos60= 2м/с·0,863/0,5 = 3,4 м/с.

Точка Bпринадлежит стержнюBD. Для определенияv_Bсначала найдем скорость точкиD, являющейся общей дляcтержней2и3. Величину скоростиv_Dнайдем, построив мгновенный центр скоростей (МЦС) звенаAE– точкуP₂, лежащую на пересечении перпендикуляров к векторамv_Aиv_E, восстановленных из точекAиE. Заметим, что векторыv_Aиv_Eперпендикулярны стержням1и4, следовательно точкаP₂лежит на пересечении прямыхAO₁иEO₂(рис.8б). По направлению вектораv_Aопределяем направление угловой скорости ₂вращения звенаAEвокруг МЦСP₂. Векторv_Dперпендикулярен отрезкуP₂Dи направлен в сторону вращенияAEвокругP₂(рис.8б). Величинуv_Dможно найти из пропорции [1,c.133] :

v_D/P₂D=v_A/ P₂A. (2)

Заметим, что  AP₂E– прямоугольный с углами при вершинахAиEсоответственно 30и 60, следовательноP₂ A= AE·sin30=AD. Тогда AP₂Dявляется равносторонним (P₂ A=P₂D) и согласно пропорции (2)

v_D=v_A= 2 м/с .

Точка BзвенаBDпринадлежит также и ползунуB, движущемуся поступательно вдоль горизонтальных направляющих. Следовательно, направлениеv_Bизвестно. Восстанавливаем из точекBиDперпендикуляры к скоростямv_Bиv_D и находим точку их пересеченияP₃ - МЦС звенаBD. По направлению вектораv_Dопределяем направление угловой скорости ₃вращения стержняBDвокругP₃. Векторv_Bтакже направлен в сторону вращенияBDвокругP₃(рис.8б). Величины угловой скорости звена3и скорости точкиBнайдем, используя свойства МЦС [1,c.133]

 ₃ = v_D / P₃D = v_D / (l₃ cos 30) = 1,6 с^-1 , v_B =  ₃ ·P₃B =  ₃ (l₃ sin 30) = 1,1 м/с.

Ответ:v_B= 1,1 м/с , v_E= 3,5 м/с ,  ₃= 1,6 с^-1.