МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
.pdf3 . Г, В├А и Г├В, то Г├А (выводимые гипотезы можно исключать из списка гипотез, при этом выводимость данной формулы не нарушается).
Доказательство: Нужно в данный вывод формулы А подставлять вместо В ее вывод из Г, получим тем самым вывод формулы А из Г.
4 . Если из Г├А и А├В, то Г├В ( свойство транзитивности вывода).
Доказательство: В выводе А├В каждое вхождение формулы А следует заменить ее выводом из Г (Г├А), в результате получится искомый вывод.
5 . Если из Г, А, А├В, то Г, А├В (свойство сокращения). Доказательство: Повторяющиеся гипотезы из списка можно исключать. Данный вывод будет и искомым.
6 . Если из Г, А, В├С, то Г, В, А├С (свойство коммутативности). Гипотезы в списке можно менять местами.
Теорема дедукции
(Доказал венгерский математик ЭРБРАН).
Эта теорема позволяет упростить многие доказательства. Т. Если Г, А├В, то Г├А В.
Г, А├В
Г├А В
Суть теоремы заключается в следующем: если из посылок А (множество гипотез Г может быть пустым) выводимо по правилам логики некоторое заключение В, то импликация А В доказуема, т.е. выводима уже без всяких посылок, из одних аксиом, которые являются логически истинными предложениями. В процессе доказательства позволяет вводить допущения, а потом освобождаться от них.
Дано: дан вывод формулы В из Г, А.:
(1)F1, F2, …, Fn=B.
Доказать: формула А В выводима из множества гипотез
Г.
31
Доказательство: Построим вспомогательную последовательность формул:
(2) А F1, А F2, …, А Fn=А B. Она заканчивается нужной нам формулой. Докажем, что дополнив последовательность (2) некоторыми подходящими формулами, мы сможем получить из нее искомый вывод.
Доказательство будем проводить М.М.И. по длине вывода n формулы В.
I. Построение базиса математической индукции. Пусть n=1.
Дано: Г, А├В, длина вывода формулы В равна 1, т.е. F1=В.
Доказать: выводима формула А F1 (Г├А F1). Возможны случаи: F1 является либо аксиомой, либо гипо-
тезой из Г, либо совпадает с А. Рассмотрим их. (Для определенности знак выводимости будем опускать).
1) F1 – аксиома. Требуется получить: Г├А F1. Построим
вывод: |
|
|
1. |
F1 |
аксиома |
2. F1 (А F1) |
(А1) |
|
3. |
А F1 |
МР к 1, 2. |
В последовательность (2) следует записать перед А F1 |
||
формулы 1 и 2. |
|
|
2) F1 – гипотеза из списка Г. |
||
1. |
F1 |
гипотеза |
2. F1 (А F1) |
(А1) |
|
3. |
А F1 |
МР к 1, 2 |
Вывод аналогичен предыдущему.
3) F1 совпадает с А. Надо доказать: Г├А А. Вывод формулы ├ А А построен (см. пример 1 – 5 формул). По свойству 2 можно записать Г├ А А.
II. Индуктивный шаг.
32
Предположим, что теорема дедукции верна для любого n<k, т.е. для всех n<k из Г├А Fn.
Докажем, что тогда при n=k из Г├А Fk, или Г├А В. Возможны 4 случая:
1) Fk – аксиома. Требуется получить: Г├А Fk. Запишем вывод, который аналогичен п1 при построении базиса:
1. |
Fk |
аксиома |
2. Fk (А Fk) |
(А1) |
|
3. |
А Fk |
МР к 1, 2. |
В последовательность (2) следует записать перед А F1 |
||
формулы 1 и 2. |
|
|
2) Fk – гипотеза из списка Г. |
||
1. |
Fk |
гипотеза |
2. Fk (А Fk) |
(А1) |
|
3. |
А Fk |
МР к 1, 2. |
Вывод аналогичен предыдущему.
3)Fk совпадает с А. Надо доказать: Г├А А. Вывод формулы ├ А А построен (см. пример 1 – 5 формул). По свойству 2 можно записать Г├А А.
4)Fk получается из двух предыдущих формул Fi и Fj (где i, j<k) по правилу МР. Будем для определенности считать, что Fi
–малая посылка, Fj – большая посылка. Следовательно,
Fj=Fi Fk. Запишем последовательность формул:
А2: А (В С) ((А В) (А С)). Сделаем переобозначение
переменных: В на Fi, С на Fk |
|
||
1. А (Fi Fk) ((А Fi) (А Fk)) |
(А2) |
||
2. |
А (Fi Fk) = А Fj по предположению: т.к. j<k |
||
3. (А Fi) (А Fk) |
|
МР к 1, 2. |
|
4. |
А Fi |
по предположению: т.к. i<k |
|
5. |
А Fk |
|
МР к 3, 4. |
33
Впоследовательность (2) следует вставить формулы 1 и 3,
аостальные в ней уже есть. По принципу математической индукции теорема справедлива для любого натурального n:
Г├А Fn=А B.
Пример: доказать, что в (ИВ) выводима формула: (А В) ((В С) (А С)).
1)А В, В С, А├С – из предыдущего примера. Применим теорему дедукции; роль Г: А В, В С, получим:
2)А В, В С├А С – еще раз применим теорему дедукции, Г: А В
3)А В├(В С) (А С) еще раз применим теорему дедукции:
4) ├(А В) ((В С) (А С)) |
– Г= . |
Располагая правилом МР: A, A B , которое теперь мож-
B
но записать в виде А В, А├В и теоремой дедукции ТД: если Г, А├В, то Г├А В (первое из них можно назвать удалением импликации, а второе – введением импликации) знаки выводимости и импликации можно взаимозаменять: ├ . Тогда все теоремы и аксиомы можно записать и применять еще в другом виде. Например,
(А3): B A A B
B A ├ A B .
Доказывая теорему дедукции, мы использовали (А1) и (А2). Если теперь формулу, выражающую ТД объявить аксиомой, то тогда окажется, что (А1) и (А2) можно доказать как теоремы.
Пусть ТД верна: Г, А├В, то Г├А В. Докажем (А1): ├ А (В А). Выполним анализ:
Надо доказать выводимость:
А (В А)
по ТД достаточно доказать
А├В А
по ТД достаточно доказать
34
|
А, В├А |
справедливо по свойству 1 . |
Теперь можно записать вывод формулы: |
||
1. |
А, В├А |
свойство 1 , |
2. |
А├В А |
1, ТД, |
3. ├ А (В А) |
2, ТД. |
Докажем (А2): выполним анализ: ├ А (В С) ((А В) (А С))
|
по ТД достаточно доказать |
А (В С)├(А В) (А С) |
|
|
по ТД достаточно доказать |
А (В С), А В├(А С) |
|
|
по ТД достаточно доказать |
А (В С), А В, А├С.
Анализ позволяет заменить задачу более простой. Перепишем все гипотезы и построим доказательство:
1. |
А (В С), А В, А├В |
МР к списку гипотез; |
2. |
А (В С), А В, А├В С |
МР к списку гипотез; |
3. В, В С├С |
МР к 1,2; |
|
4. |
А (В С), А В, А ├С |
свойство 4 к 1, 2, 3; |
5. А (В С), А В├А С |
4, ТД; |
6. А (В С)├(А В) (А С) 5, ТД; 7.├ А (В С) ((А В) (А С)) 6, ТД.
Производные правила вывода
Следующим шагом на пути построения формализованного исчисления высказываний является выявление дальнейших закономерностей процесса выведения одних формул из других и формулирование таких закономерностей в виде правил вывода. Получаемые вторичные правила вывода носят названия произ-
водных правил вывода (вторичных).
Эти правила называются правилами удаления или введения логических связок. Введем новые логические символы в качестве сокращения некоторых формул:
А В ~ A B,
35
А В ~ A&B.
ПРОИЗВОДНЫЕ ПРАВИЛА ВЫВОДА
Лог. связки |
|
|
Введение лог. связок |
|
Удаление лог. связок |
||||||||||||||||||||||
|
|
1. Г, А├В |
ТД |
2. |
|
|
|
Г├А В |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г, А├В |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Г├А В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3. |
|
|
Г├А |
|
4. |
|
|
|
|
Г├ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
А |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г├ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г├А |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
& |
|
7. |
|
|
Г├А, Г├В |
|
8. Г, А&В├А |
|
|
|
Г, А&В├В |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г├А&В |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9.Г, А├А В |
Г, В├А В |
10. Г, А├С, Г, |
В├С |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г, А В├С |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Законы контрапозиции |
|||||||||||||||||||||
6. Прямая контрапозиция |
5. Обратная контрапозиция |
||||||||||||||||||||||||||
|
Г, А├В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г, |
|
├ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
А |
|||||||||||||||||
Г, |
|
├ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г, А├В |
1. Г, А├В
Г├А В
Доказано, т.к. это теорема дедукции.
2.Г├А В
Г, А├В
Разновидность записи правила МР
1)Г├А В……………........дано
2)Г, А├А В………………из 1) по 2
3)Г, А├А…………………...из 2) по 1
4)Г, А├В…………………...из 2), 3) по МР.
3.Г├А
Г├ А
1)Г├А……………………...дано
2)├ А А ………………….пример 5 из пред. лекции
36
3)Г├ А А ………………...из 2) по 2
4)Г├ А ……………………...из 1), 3) по МР.
4.Г├ А Г├А
1)Г├ А …………………….дано
2)├ А А…………………пример 4 из пред. лекции
3)Г├ А А………………..из 2) по 2
4)Г├А……………………...из 1), 3) по МР.
5.Г, В ├ А
Г, А├В
1)Г ,В ├ А …………………….дано
2)├ B A A B ………..А3
3)Г, А├ B A A B ……из 2) по 2
4)Г├ B A ……………………из 1) по ТД
5)Г, А├ B A …………………из 4) по 2
6)Г, А├ А В ………………….из 3), 5) по МР
7)Г, А├А………………………..по 1
8)Г, А├В……………………….из 6), 7) по МР.
6.Г, А├В
Г, В ├ А
1)Г, А├В……………………….дано
2)В├B …………………………вв.
3)Г, А├ B ……………………… из 1), 2) по 4 (транзитивн.)
4)Г , А, А ├ B ………………….. из 3) по 2
5)Г , А ├А.………………………уд.
6)Г , А ├ B ……………………...из 4), 5) по 3
7)Г , В ├ А ………………………из 6) по обрат. контр.
37
7.Г├А, Г├В Г├А&В
1)Г├А…………………дано
2)Г├В…………………дано
3)Г , А, В, А В ├ В …МР к списку гипотез
4)Г , А, В, B ├ А В ...прям. контрапозиция
5)Г, А, В ├B …………вв.
6)Г, А, В ├ А В …….из 4), 5) по 3
7)Г, В ├ А В …….….из 1), 6) по 3
8)Г├ А В …………...из 2), 7) по 3
9)Г├А&В……………..из 8) сокращ. &–ей.
8.Г, А&В├А
1)Г, В, А├А………...по 1
2)Г , А, А├ В ………прямая контрапозиция
3)Г , А ├ А В …….ТД
4)Г , А В ├ А ……..прямая контрапозиция
5)Г , А В ├А………уд.
6)Г, А&В├А…………сокращение. &–ей.
9.Г, А├А В
1)Г ,В ,А ├ А ……….по 1
2)Г , А, А ├В………..обратн. контрапозиция
3)Г, А├ А В………ТД
4)Г, А├А В………….сокращение –ей.
Анализ доказательства:
Г├А&В
Г├ А В
Г, А,В ├ А В
Г, А, А В ├ В
Анализ доказательства:
Г, А&В├А
Г, А В ├А
Г, А В ├ А
Г, А ├ А В
Г, А, А├ В
Г, В, А├А
Анализ доказательства:
Г, А├А В
Г, А├ А В
Г, А, А ├В
Г,В ,А ├ А
38
10. |
|
|
|
|
|
Г, А├С; Г, В├С |
|
правило разбора случаев |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г, А В├С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) |
Г, А├С…………...дано |
|
Анализ доказа- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
Г, В├С…………..дано |
|
тельства: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
Г , |
|
├ |
|
|
|
|
………...прямая контрапоз. 1) |
Г, А В├С |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
А |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
Г , |
|
├ |
|
|
|
|
………...прямая контрапоз. 2) |
|
Г , |
|
|
|
|
|
В ├С |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
Г , |
|
├ |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
…….из 3), 4) – введение & |
|
Г , |
|
|
|
├ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
А |
B |
|
С |
А |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Г , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6) |
|
├ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……расшифровка &–ции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
С |
А |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
├ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
В, |
|
|
|
├В……...МР к списку гипотез |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
А |
А |
|
|
А |
|
В |
|
А |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
|
|
|
|
|
В, |
|
|
|
├ |
|
|
|
|
|
|
……..вв. |
|
|
|
|
В ├ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
А |
В |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
А |
А |
B |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В, |
|
|
|
|
|
├ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
В ├ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……ТД |
|
|
|
А |
А |
B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А |
А |
В |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
В, |
А |
├В |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
10) А В ├ А В …прямая контрапозиция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11)Г , С ├ А В ……из 6), 10) по 4
12)Г , А В ├С…….обратн. контрапозиция
13)Г, А В├С…………сокращение –ей.
Замечания:
1) Правила введения и удаления двойного отрицания иногда записывают в виде:
Г , А ├А.……………уд.
Г, А├ А ……………..вв. .
2) Правило введения & иногда записывают в виде:
Г, А, В├А&В.
Пример. Доказать выводимость формулы: ├ А&B A B .
Анализ. В анализе мы используем правила удаления или введения логических символов, законы контрапозиции в об-
ратном порядке.
7) ├ А& B A B
6) А& B ├ A B
5) А& B ├ A B 4) А& B , A├ B
39
3) B, A├ А&B |
|
2) B, A├ А |
B, A├В 1) |
1)1
2)удаление
3)введение & из 1) и 2)
4)ПК
5)введение
6)сокращение – ей
7)ТД
40