МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

x y x (y y).

Значит справедлива теорема 7:

Т7 Система булевых функций { } является полной. Штрих Шеффера был введен в рассмотрение

Г.Шеффером.

Cтрелка Пирса (введена за 30 лет до ш.Шеффера) Обозн. x↓y (читается «x стрелка y»). Задается таблицей ис-

тинности:

Высказывание А↓В означает «ни А, ни В». Через стрелку Пирса выражаются все другие логические операции:

x x↓x;

x&y (x↓x)↓(y↓y); x y (x↓y)↓(x↓y);

x y ((x↓x)↓y)↓((x↓x)↓y)

21

Значит справедлива теорема 8:

Т8 Система булевых функций { } является полной.

Применение основных равносильностей алгебры высказываний

Рассмотрим две области применения формул алгебры высказываний.

I. Анализ рассуждений.

При доказательстве теорем различных математических теорий мы помимо фактов этих теорий используем некоторые логические рассуждения. Эти логические рассуждения на языке логики могут выражаться некоторыми формулами. Чтобы некоторое рассуждение было логически оправданным в применении, нужно, чтобы соответствующая ему формула была тождественно истинной.

1) Способ доказательства от противного:

Пусть требуется доказать теорему вида p q . Полагаем, что q неверно, т.е. верно q . Учитывая это предположение, пытаемся придти к противоречию, т.е. доказать, что некоторый факт p выполняется и, одновременно, не выполняется, а значит справедливо p . Если мы это сумеем сделать, то делаем заключение: q – истинно. На языке логики высказываний это способ рассуждений можно записать формулой:

q p & q p q.

Проверим, является ли эта формула тождественно истин-

ной:

q p & q p q q p & q p q q p q p q

q p q p q q p p q q q 1.

Т.к. формула тождественно истинна, то применение метода от противного при доказательстве логически оправдано.

2) Метод рассмотрения частных случаев. Это способ доказательства можно выразить формулой:

p1 p2 ... pn & p1 q & p2 q &...& pn q q.

Проверим ее:

p1 p2 ...pn & p1 q & p2 q & pn q q (17)

22

p1 p2 ...pn & p1 q & p2 q & pn q q (12)

p1 p2 ... pn p1 q p2 q ... pn q q (13,16)

p1 & p2 &...& pn p1 &q p2 &q ... pn &q q (1)

p1 & p2 &...& pn p1 &q p2 &q ... pn &q q

p1 & p2 &...& pn p1&q p2 &q ... pn &q q

p1 & p2 &...& pn p1 &q p2 &q ... pn q …

p1 & p2 &...& pn p1&q p2 &q q ... pn

p1 & p2 &...& pn p1&q q p2 ... pn

p1 & p2 &...& pn p1 p2 ... pn q

p1 & p2 &...& pn p1 p2 ... pn q

p2 &...& pn p1 p2 ... pn q … pn p1 p2 ... pn q

p1 p2 ... pn pn q (21) p1 p2 ... pn 1 1 q (23) 1.

II.Логические цепи

Влогических устройствах используются три основных элемента «И» – конъюнктор, «ИЛИ» – дизъюнктор и инвертор «НЕ». Они представлены на рис. 1.

Рис. 1. Элементы «И», «ИЛИ», «НЕ»

Элементы И и ИЛИ могут иметь несколько входов, на каждый из которых подается двоичный сигнал, принимающий значения 0 или 1. Выход элемента И равен нулю всегда, кроме случая, когда все входы равны единице; в этом случае выход элемента И тоже равен единице. Выход элемента ИЛИ равен единице всегда, кроме случая, когда все его входы равны нулю. Инвертор в противоположность элементам И и ИЛИ имеет только один вход, сигнал на его выходе противоположен сигналу на входе: если входной сигнал имеет значение 0, то сиг-

23

нал на выходе принимает значение 1; если входной сигнал принимает значение 1, то сигнал на выходе равен 0.

Практические схемы, реализующие логические свойства этих трех элементов, могут быть построены из транзисторов, сопротивлений, диодов и др. компонентов. Естественно полагать, что математические модели этих схем (комбинационные схемы) реализуют одну или несколько булевых функций, которые однозначно определяются структурой схемы.

Так как дизъюнкция, конъюнкция и отрицание образуют полную систему булевых функций, то любую булеву функцию можно реализовать схемой из дизъюнкторов, конъюнкторов и инверторов с n входами и одним выходом. Для этого можно, например, для данной булевой функции найти СДНФ или СКНФ, выполнить упрощение и затем синтезировать полученную формулу в виде комбинационной схемы из элементов И, ИЛИ и НЕ.

Пример: построить комбинационную схему, реализую-

x y x z xz xy x y x x z xy x y z xy – получена по-

сле упрощения из СДНФ – 6 элементов (рис.2); СКНФ: x y z & x y z – 6 элементов;

24

F xyz xyz xy xy z – получена из СКНФ по принципу двойственности – 7 элементов (рис. 3).

Полезной комбинацией элементов И, ИЛИ и НЕ является двоичный сумматор с двумя входами, изображенный на рис.4. Этот элемент обозначается символом .

x1 x2

x1 x2

+

y x1 x2

y x1 x2 x1 x2x1 x2

Рис.4. Двоичный сумматор с двумя входами.

С помощью различных способов каскадного соединения двоичных сумматоров с двумя входами можно построить двоичный сумматор с N входами.

25

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

(ИВ) – пример простейшей формализованной математической теории. Здесь дается точное определение формулы, формулируются явно аксиомы и правила вывода, дается точное определение доказуемой формулы (т.е. теоремы).

(ИВ) входит составной частью в более сложные формализованные теории (формальную арифметику, формальную геометрию и т.д.).

Формальные теории строятся по единому плану:

1.задается алфавит;

2.дается определение формулы;

3.некоторые из формул объявляются аксиомами;

4.формулируются правила вывода;

5.дается определение вывода формулы (формального доказательства);

6.дается определение выводимой формулы (теоремы).

Построение исчисления высказываний

I.Зададим алфавит из следующих групп символов:

1.x, y, …, z, ..., А, В, … – пропозициональные переменные;

2., – логические связки;

3.(, ) – технические символы.

II.Дадим определение формулы исчисления высказываний (или правильно построенной формулы – п.п.ф.):

1)каждая пропозициональная переменная является п.п.ф. (простейшей, атомной).

2)Если А – п.п.ф. (ИВ), то ( А) – п.п. формула (ИВ).

3)Если А и В – п.п. формулы исчисления высказываний, то (А В) – тоже п.п. формула (ИВ).

4)Никаких других п.п. формул (ИВ), кроме получающихся согласно п.п.1–3, нет.

III.Некоторые из п.п.ф. особенно важны. Им отводится роль основного материала, из которого строится все ИСЧИСЛЕНИЕ. Мы выделяем эти формулы и называем их аксиомами. Выбор некоторых формул в качестве аксиом произволен и определяется только тем, какое исчисление желательно получить. Нас интересует только вопрос: как

26

из некоторых п.п.ф. при помощи некоторой процедуры получить другие п.п.ф. и какие п.п.ф. так можно получить. Аксиомами назовем формулы вида:

(А1): А (В А); (А2): А (В С) ((А В) (А С)) – закон самодист-

рибутивности импликации;

(А3): B A A B – закон контрапозиции. Данные формулы представляют из себя схемы аксиом: в

них вместо любой буквы может быть записана любая п.п.ф. (одна и та же во всех вхождениях буквы). Например,

(А1): (X y) (( y (z x)) (x y)) – сделаны замены А=(X y), В= y (z x).

Все остальные формулы будем доказывать, ссылаясь на перечисленные.

IV. Для построения (ИВ) надо указать также правила вывода, т.е. правила, по которым из одних п.п.ф. можно строить другие п.п.ф.

Для нашего (ИВ) мы возьмем одно правило вывода, которое называется modus ponens (правило отделения или гипотетический силлогизм).

Из формул А и А В считается выводимой формула В. А называется малой посылкой, А В – большой посылкой, В – заключением.

V.Выводом формулы А (формальным доказательством) называется конечная последовательность формул, заканчивающаяся формулой А и каждая формула в этой последовательности является аксиомой или получена из двух предыдущих по правилу (MP).

Если для формулы А такой вывод построен, то она назы-

вается доказуемой или выводимой в (ИВ) (или теоремой (ИВ)), в этом случае будем записывать: ├ А.

VI. ИСЧИСЛЕНИЕ содержит выводимые формулы (в данной аксиоматике с помощью данных правил вывода).

27

Примеры выводимых формул

В (ИВ) выводимы формулы:

1. ├ А А

Запишем аксиому А2: x (y z) ((x y) (x z)). Сделаем переобозначение переменных:

Вывод содержит 5 формул.

2. ├ A (А B)

Запишем аксиому А2: x (y z) ((x y) (x z)). Сделаем переобозначение переменных:

28

3. ├ A ( A A)

Запишем аксиому А2: x (y z) ((x y) (x z)). Сделаем переобозначение переменных:

4. ├ A A

Запишем аксиому А2: x (y z) ((x y) (x z)). Сдела-