- •Оглавление
- •Абуева Наталья Сергеевна
- •Нормальной случайной величины генеральной совокупности
- •Примечание
- •Расчет вероятности события Классическое определение вероятности
- •Основные элементы комбинаторики
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Примечание
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Вероятность события в условиях схемы Бернулли
- •Отклонение относительной частоты от вероятности
- •Контрольная работа №6.
- •Cлучайная величина Основные характеристики случайных величин
- •Нормальное распределение
- •Контрольные задания контрольная работа №5
- •Двумерная случайная величина
- •Неравенства Маркова и Чебышева
- •Статистические гипотезы
- •Неравенства Маркова и Чебышева в условиях схемы Бернулли
- •V. Элементы математической статистики Статистическое распределение
- •Линейная корреляция
- •Числовые характеристики статистического распределения выборки
- •Точечные оценки
- •Интервальные оценки
Контрольные задания контрольная работа №5
Задача 1. Непосредственный расчет вероятностей на основе комбинаторики и алгебры событий.
1.1. В поступившей партии из 30 швейных машин 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из пяти наудачу взятых машин три окажутся бездефектными.
1.2. В урне находится 4 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно извлекают по шару (без возвращения). Выигрывает тот, кто 1-ым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру?
1.3. Какова вероятность получить выигрыш в игре Спортлото «5 из 6», полагающийся при угадывании: 3-х номеров из пяти; 4-х номеров из пяти; всех пяти номеров.
1.4. Устройство состоит из 3-х независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно с вероятностями p1=0,84; p2=0,81; p3=0,93. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) хотя бы один элемент; б) только один элемент.
1.5. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
1.6. На тепловой электростанции 18 сменных инженеров, из них 8 женщин. В смену занято 6 человек. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется четверо.
1.7. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Сочи, 8 в Туапсе и 7 – в Адлере. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?
1.8. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятности того, что формула содержится в 1-ом, 2-ом, 3-ем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в двух; в) ни в одном справочнике.
1.9. Из двух орудий произведен залп по мишени. Вероятность попадания из первого орудия 0,85; из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.
1.10. Станок-автомат штампует детали, 96% из них стандартные, причем 90% стандартных деталей – это детали 1-го сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется деталью 1-го сорта.
38
Двумерная случайная величина
Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной.
Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = xi; Y = yj), а ее вероятностью – вероятность события (Х = xi; Y = yj): pij = p(Х = xi; Y = yj).
Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется перечень возможных значений (xi; yj) этой величины и их вероятностей pij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).
Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы
-
Y
X
Y = y1
Y = y2
…
Y = yn
X = x1
p11
p12
…
p1n
X = x2
p21
p22
…
p2n
…
…
…
…
…
X = xm
pm1
pm2
…
pmn
Так как события (Х = xi; Y = yj), где i = 1,2,…, m и j = 1,2,…, n, образуют полную группу, то сумма вероятностей pij в данной таблице равна 1.
Безусловные вероятности дискретных компонент Х и Y находятся по формулам
(10)
Для условных вероятностей компонент Х и Y справедливы формулы:
(11)
Математические ожидания компонент Хи Yнаходятся следующим образом:
(12)
Определение 13. Ковариацией (корреляционным моментом) компонент Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:
(13)
г
19
Пусть дана случайная величина Z = X + Y. Тогда математическое ожидание
M(Z) = M(X) + M(Y), (14),
а дисперсия
D(Z) = M(Z 2) – M 2(Z). (15)
Задача. Дана дискретная двумерная случайная величина = (Х; Y). Найти:
безусловные законы распределения компонент Х и Y;
математические ожидания составляющих компонент M(X), M(Y) и центр рассеяния ; ковариацию компонентcov(X, Y);
условный закон распределения X при Y = 1 и найти M (X /Y = 1);
закон распределения случайной величины T = 3X + 1, математическое ожидание M(T) и дисперсию D(T);
закон распределения случайной величины Z = X + Y; математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z);
построить график интегральной функции распределения F(Z) случайной величины Z.
-
X \ Y
y1 = –1
y2 = 0
y3 = 1
x1 = 1
0
0,05
0,2
x2 = 2
0,1
0,1
0,1
x3 = 3
0,1
0,15
0
x4 = 4
0,05
0
0,15
Решение.
Согласно (10), складывая вдоль строк (по индексу j) и вдоль столбцов (по индексу i), получим безусловные вероятности соответствующих значений xi и yj случайных компонент вектора . Безусловные законы распределения этих компонент представим в виде таблиц:
-
X
1
2
3
4
p(X)
0,25
0,3
0,25
0,2
-
Y
–1
0
1
p(Y)
0,25
0,3
0,45
Согласно (12) и результатам пункта 1 математическое ожидание компонент:
M(X) = 10,25 + 20,3 + 30,25 + 40,2 = 2,4;
M(Y) = –10,25 + 00,3 + 10,45 = 0,2.
С
20
Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение , учитывая, что
Найдем наблюдаемое значение критерия:
Табулированное значение tдвуст.кр.( = 0,05; k = n – 1) = 2,57.
Так как – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо.
37
- «исправленное» среднее квадратическое отклонение.
Правило. Для того чтобы при заданном уравнении значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностейX и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободыk = n – 1 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если– нулевую гипотезу отвергают.
Задача. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):
-
2
3
5
6
8
10
10
3
6
1
7
4
– 8
0
–1
5
1
6
При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.
Решение. Найдем разности , вычитая из чисел первой строки числа второй.
Найдем выборочную среднюю, учитывая, что :
36
Согласно (13) для нахождения ковариации компонент вектора надо знатьM(XY). Используя исходную таблицу и опуская слагаемые, содержащие равные 0 множители, получим:
M(XY) = –120,1 –130,1–140,05+110,2+120,1+140,15 = 0,3.
Следовательно, cov(X, Y) = M(XY) – M(X)M(Y) = 0,3 – 2,40,2 = – 0,18.
3) Согласно (11) и результатам пункта 1 получим условные вероятности
Таким образом, условный закон распределения случайной компоненты X при Y = 3 можно представить таблицей:
-
X
1
2
3
4
p(X /Y = 1)
0,45
0,22
0
0,33
(столбец с вероятностью равной 0 можно опустить).
Найдем математическое ожидание
M (X /Y = 1) = 10,45 + 20,22 + 30 + 40,33 = 2,21.
4) Значения случайной величины T = 3X + 1 получаются при подстановке значений случайной величины X в формулу для Т; а их вероятности совпадают с соответствующими вероятностями значений случайной величины Х:
-
Т
4
7
10
13
р(Т)
0,25
0,3
0,25
0,2
Найдем М(Т) и D(T):
5) Для определения закона распределения случайной величины Z = X + Y предварительно составим таблицу возможных значений Z, задаваемых значениями xi + yj, и вероятностей этих значений, равных p(Х=xi; Y=yj)= pij:
21
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
yj |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
xi + yj |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
5 |
pij |
0 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
0,1 |
0,15 |
0 |
0,2 |
0,1 |
0 |
0,15 |
Упорядочим запись закона распределения случайной величины Z, причем вероятности одинаковых значений необходимо сложить:
Z |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
p(Z) |
0 |
0,15 |
0,4 |
0,3 |
0 |
0,15 |
(столбцы с нулевыми вероятностями можно опустить).
Найдем M(Z) и D(Z):
M(Z) = 10,15 + 20,4 + 30,3 + 50,15 = 2,6 или
M(Z) = М(X + Y) = M(X) + M(Y) = 2,4 + 0,2 = 2,6;
D(Z) = 120,15 + 220,4 + 320,3 + 520,15 – 2,62 = 1,44.
6) Используя полученный закон распределения случайной величины Z, построим график (рис. 3) интегрального закона распределения F(z)=p(Z<z) с учетом того, что функция F(z) принимает значения:
F(z)
1 0,85
0,5
0,15
z
–1
0 1 2
3
4 5 6
Рис.
3.