Контрольные задания контрольная работа №5

Задача 1. Непосредственный расчет вероятностей на основе комбинаторики и алгебры событий.

1.1. В поступившей партии из 30 швейных машин 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из пяти наудачу взятых машин три окажутся бездефектными.

1.2. В урне находится 4 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно извлекают по шару (без возвращения). Выигрывает тот, кто 1-ым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру?

1.3. Какова вероятность получить выигрыш в игре Спортлото «5 из 6», полагающийся при угадывании: 3-х номеров из пяти; 4-х номеров из пяти; всех пяти номеров.

1.4. Устройство состоит из 3-х независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно с вероятностями p₁=0,84; p₂=0,81; p₃=0,93. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) хотя бы один элемент; б) только один элемент.

1.5. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

1.6. На тепловой электростанции 18 сменных инженеров, из них 8 женщин. В смену занято 6 человек. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется четверо.

1.7. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Сочи, 8 в Туапсе и 7 – в Адлере. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?

1.8. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятности того, что формула содержится в 1-ом, 2-ом, 3-ем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в двух; в) ни в одном справочнике.

1.9. Из двух орудий произведен залп по мишени. Вероятность попадания из первого орудия 0,85; из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.

1.10. Станок-автомат штампует детали, 96% из них стандартные, причем 90% стандартных деталей – это детали 1-го сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется деталью 1-го сорта.

38

Двумерная случайная величина

Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной.

Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = x_i; Y = y_j), а ее вероятностью – вероятность события (Х = x_i; Y = y_j): p_ij = p(Х = x_i; Y = y_j).

Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется перечень возможных значений (x_i; y_j) этой величины и их вероятностей p_ij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы

Y X	Y = y1	Y = y2	…	Y = yn
X = x1	p11	p12	…	p1n
X = x2	p21	p22	…	p2n
…	…	…	…	…
X = xm	pm1	pm2	…	pmn

Так как события (Х = x_i; Y = y_j), где i = 1,2,…, m и j = 1,2,…, n, образуют полную группу, то сумма вероятностей p_ij в данной таблице равна 1.

Безусловные вероятности дискретных компонент Х и Y находятся по формулам

(10)

Для условных вероятностей компонент Х и Y справедливы формулы:

(11)

Математические ожидания компонент Хи Yнаходятся следующим образом:

(12)

Определение 13. Ковариацией (корреляционным моментом) компонент Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

(13)

г

19

де математическое ожидание произведения компонент(суммирование производится по всем возможным парам индексовij).

Пусть дана случайная величина Z = X + Y. Тогда математическое ожидание

M(Z) = M(X) + M(Y), (14),

а дисперсия

D(Z) = M(Z ²) – M ²(Z). (15)

Задача. Дана дискретная двумерная случайная величина = (Х; Y). Найти:

1. безусловные законы распределения компонент Х и Y;

2. математические ожидания составляющих компонент M(X), M(Y) и центр рассеяния ; ковариацию компонентcov(X, Y);

3. условный закон распределения X при Y = 1 и найти M (X /Y = 1);

4. закон распределения случайной величины T = 3X + 1, математическое ожидание M(T) и дисперсию D(T);

5. закон распределения случайной величины Z = X + Y; математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z);

6. построить график интегральной функции распределения F(Z) случайной величины Z.

X \ Y	y1 = –1	y2 = 0	y3 = 1
x1 = 1	0	0,05	0,2
x2 = 2	0,1	0,1	0,1
x3 = 3	0,1	0,15	0
x4 = 4	0,05	0	0,15

Решение.

1. Согласно (10), складывая вдоль строк (по индексу j) и вдоль столбцов (по индексу i), получим безусловные вероятности соответствующих значений x_i и y_j случайных компонент вектора . Безусловные законы распределения этих компонент представим в виде таблиц:

X	1	2	3	4
p(X)	0,25	0,3	0,25	0,2

Y	–1	0	1
p(Y)	0,25	0,3	0,45

2. Согласно (12) и результатам пункта 1 математическое ожидание компонент:

M(X) = 10,25 + 20,3 + 30,25 + 40,2 = 2,4;

M(Y) = –10,25 + 00,3 + 10,45 = 0,2.

С

20

ледовательно, центр рассеивания системы случайных величин (Х; Y) определяется радиус-вектором .

Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение , учитывая, что

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Табулированное значение t_{двуст.кр.}( = 0,05; k = n – 1) = 2,57.

Так как – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо.

37

- «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Правило. Для того чтобы при заданном уравнении значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностейX и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободыk = n – 1 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если– нулевую гипотезу отвергают.

Задача. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):

	2	3	5	6	8	10
	10	3	6	1	7	4
	– 8	0	–1	5	1	6

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.

Решение. Найдем разности , вычитая из чисел первой строки числа второй.

Найдем выборочную среднюю, учитывая, что :

36

Согласно (13) для нахождения ковариации компонент вектора надо знатьM(XY). Используя исходную таблицу и опуская слагаемые, содержащие равные 0 множители, получим:

M(XY) = –120,1 –130,1–140,05+110,2+120,1+140,15 = 0,3.

Следовательно, cov(X, Y) = M(XY) – M(X)M(Y) = 0,3 – 2,40,2 = – 0,18.

3) Согласно (11) и результатам пункта 1 получим условные вероятности

Таким образом, условный закон распределения случайной компоненты X при Y = 3 можно представить таблицей:

X	1	2	3	4
p(X /Y = 1)	0,45	0,22	0	0,33

(столбец с вероятностью равной 0 можно опустить).

Найдем математическое ожидание

M (X /Y = 1) = 10,45 + 20,22 + 30 + 40,33 = 2,21.

4) Значения случайной величины T = 3X + 1 получаются при подстановке значений случайной величины X в формулу для Т; а их вероятности совпадают с соответствующими вероятностями значений случайной величины Х:

Т	4	7	10	13
р(Т)	0,25	0,3	0,25	0,2

Найдем М(Т) и D(T):

5) Для определения закона распределения случайной величины Z = X + Y предварительно составим таблицу возможных значений Z, задаваемых значениями x_i + y_j, и вероятностей этих значений, равных p(Х=x_i; Y=y_j)= p_ij:

21

xi	1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
yj	–1	–1	–1	–1	0	0	0	0	1	1	1	1
xi + yj	0	1	2	3	1	2	3	4	2	3	4	5
pij	0	0,1	0,1	0,05	0,05	0,1	0,15	0	0,2	0,1	0	0,15

Упорядочим запись закона распределения случайной величины Z, причем вероятности одинаковых значений необходимо сложить:

Z	0	1	2	3	4	5
p(Z)	0	0,15	0,4	0,3	0	0,15

(столбцы с нулевыми вероятностями можно опустить).

Найдем M(Z) и D(Z):

M(Z) = 10,15 + 20,4 + 30,3 + 50,15 = 2,6 или

M(Z) = М(X + Y) = M(X) + M(Y) = 2,4 + 0,2 = 2,6;

D(Z) = 1²0,15 + 2²0,4 + 3²0,3 + 5²0,15 – 2,6² = 1,44.

6) Используя полученный закон распределения случайной величины Z, построим график (рис. 3) интегрального закона распределения F(z)=p(Z<z) с учетом того, что функция F(z) принимает значения:

F(z)

1

0,85

0,5

0,15 z

–1 0 1 2 3 4 5 6

Рис. 3.