Лекция 7. Вариация

Для каждой единицы изучаемой совокупности интересующий нас признак принимает различные значения, т.е. варьирует.

Вариация – это колебания признака в ряде распределения.

Показатели вариации

1. Размах вариации (R) – разность между максимальным и минимальным значениями совокупности: .

2. Среднее линейное отклонение (d) – средняя арифметическая абсолютная величина отклонений значений признака от его средней величины: ; .

3. Дисперсия () – среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от его средней величины..

Дисперсия − единственный из показателей вариации, не имеющий единицы измерения:

Логическая формула Метод моментов

; ;

; ;

где – средняя квадратов статистических величин;  – квадрат их средней величины.

Эти параметры нередко имеют и другие названия. Вычитаемое назы­вают начальным моментом первого порядка, уменьшаемое – начальным моментом второго порядка, а сама дисперсия при этом называется цен­тральным моментом второго порядка.

            Для иллюстрации пользования формулами дисперсии рассмотрим простейший пример, приняв абстрактно Х1 = 2, Х2 = 4, Х3 = 6, для которыхсреднее значение, очевидно, равняется  = 4. Тогда дисперсия простая по логической формуле будет равна

Д3 = ((2-4)² + (4-4)² + (6-4)²)/3 = 8/3 = 2,67

Применив формулу моментов , получим тот же результат

Д3 =(2² + 4² + 6 ² )/3 – 16 = 56/3 – 16 = 2,67

В данном примере быстрота определения дисперсии методом мо­ментов не достаточно ощутима, но она проявляется очень заметно при большом количестве статистических данных.

где – средняя квадратов статистических величин;  – квадрат их средней величины.

Эти параметры нередко имеют и другие названия. Вычитаемое назы­вают начальным моментом первого порядка, уменьшаемое – начальным моментом второго порядка, а сама дисперсия при этом называется цен­тральным моментом второго порядка.

            Для иллюстрации пользования формулами дисперсии рассмотрим простейший пример, приняв абстрактно Х1 = 2, Х2 = 4, Х3 = 6, для которыхсреднее значение, очевидно, равняется  = 4. Тогда дисперсия простая по логической формуле (1.24) будет равна

Д3 = ((2-4)2 + (4-4)2 + (6-4)2)/3 = 8/3 = 2,67

Применив формулу моментов (1.32), получим тот же результат

Д3 =(22 + 42 + 6 2 )/3 – 42 = 56/3 – 16 = 2,67

В данном примере быстрота определения дисперсии методом мо­ментов не достаточно ощутима, но она проявляется очень заметно при большом количестве статистических данных.

4. Среднее квадратическое отклонение () – арифметическое значение корня квадратного из дисперсии: ; .

Отметим, что отношение (для прогноза).

5. Коэффициент осцилляции:

1. Относительное линейное отклонение

5. Коэффициент вариации (V) – отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах: .

Этот коэффициент показывает долю колебания признака от средней арифметической. Применяется для сравнения вариаций признака в различных совокупностях и для характеристики колебаний различных признаков в одной совокупности. Также он характеризует степень однородности совокупности и качества средних величин.

Если V от 0% до 20%, то совокупность однородная, и среднюю можно использовать смело.

Если V от 20% до 50%, то совокупность средней однородности, и среднюю необходимо использовать осторожно.

Если V более 50%, то совокупность неоднородная, и средней пользоваться нельзя для прогнозирования перспективных показателей признака.

Целесообразно расчёт каждой средней величины дополнять расчётом коэффициента вариации для характеристики степени однородности совокупности и оценки качества средней величины.

Свойства дисперсии

1. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в k раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в k² раз.

2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то дисперсия не изменится.

3. Если все частоты увеличить или уменьшить в несколько раз, то дисперсия не изменится.

4. Дисперсия равна средней арифметической квадратов вариант без квадрата средней арифметической.

Дисперсия альтернативного признака

Если в совокупности исследуется доля единиц, обладающих тем или иным альтернативным признаком, то дисперсия этой доли определяется по формуле: , где .

p – доля единиц совокупности, обладающих данным признаком, ;

m – число единиц совокупности, обладающих данным признаком;

n – число наблюдений.

Пример:выпущена продукция, в объёме которой доля пригодных изделий составляет 0,8, оставшиеся – бракованные изделия. Определить дисперсию альтернативного признака.

= 0,8 ∙ 0,2 = 0,16.

Межгрупповая и внутригрупповая дисперсии

На вариацию признака влияют различные факторы: систематические и случайные. В статистике определяется количественное воздействие случайных факторов при помощи различных видов дисперсий.

Предположим, совокупность S разбита на непересекающиеся группы по возрастанию признака (S₁ ,S₂ ,…,S_n).

S1()

S() S2()

…………

Sn()

Дисперсия всей совокупности называется общей дисперсией. Она характеризует влияние колебания признака от воздействия всех факторов: случайных и систематических.

Дисперсия каждой группы, на которые разбита совокупность, называется внутригрупповой и рассчитывается по формуле дисперсии: , где

−дисперсия i-ой группы;

−значение ряда.

Среднее арифметическое из внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле: и называется средней внутригрупповой дисперсией. Она характеризует влияние случайных факторов на величину общей вариации, т.е. всех факторов, за исключением того, который положен в основу группировки.

Межгрупповой дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений внутригрупповых средних от общей средней., рассчитывается по формуле. . Она характеризует влияние систематических факторов, положенных в основу группировки, на величину общей вариации.

Правило сложения дисперсий

Если совокупность разбита на непересекающиеся группы S₁ ,S₂ ,…,S_n, то общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии: (четвёртый способ нахождения дисперсии)

Отношение межгрупповой дисперсии к общей, выраженное в процентах, называется коэффициентом детерминации: .

Корень квадратный из него характеризует долю общей вариации, обусловленную влиянием признака, положенного в основу группировки, в общей совокупности всех факторов и называется эмпирическим корреляционным отношением: . (этта)

Пример:имеются данные о производительности труда 10 работников в зависимости от стажа работы. Определить зависимость выработки работника от стажа работы:

этапы работы	количество деталей в смену	количество работников
менее 5 лет	11, 8, 9, 12, 11, 9	6
5 лет и выше	9, 12, 10, 13	4

(ед.), (ед.),

(деталей);

;

,

,

, ;

, .

Таким образом, производительность труда рабочих зависит от стажа работы на 31%, а от всех остальных, случайных, факторов – на 69%.