6.2. Простейший поток

Определение 6.1. Входной поток называют простей­шим, если:

1) вероятность появления того или иного числа заявок на временном интервале зависит лишь от его длительности и не зависит от его расположения на временной оси (стационар­ность входного потока), причем заявки поступают пооди­ночке (ординарность входного потока) и независимо друг от друга (отсутствие последействия во входном по­токе);

2) вероятность реализации отдельного случайного события (появление заявки) на временном интервале малой длительно­сти t пропорциональна t с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с t, т.е. равна

3) вероятность реализации двух и более случайных событий (появление двух или более заявок) на временном интервале малой длительности t есть величина о(t).

Отсутствие последействия в определении простейшего вход­ного потока означает, что для любых непересекающихся вре­менных интервалов число заявок, поступающих на одном из этих интервалов, не зависит от числа заявок, поступающих на других интервалах.

Несмотря на то, что входные и выходные потоки многих реальных систем обслуживания не удовлетворяют полностью определению простейшего потока, понятие простейшего по­тока широко используют в теории массового обслуживания*. Это обстоятельство связано не только с тем, что простейшие потоки достаточно часто встречаются на практике, но и с тем, что сумма неограниченного числа стационарных ординар­ных потоков с практически любым последействием является простейшим потоком. В связи с этим рассмотрим основные свойства простейшего потока.

Теорема 6.1. Дискретная случайная величина (), при­нимающая значения 0, 1, 2, ... и характеризующая при про­стейшем входном потоке число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, распре­делена по закону Пуассона с параметром t.

P[(=n)]=p_n(t)=(6.5)

Следствие 6.1. Если входной поток является простейшим, то среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, равно t.

Согласно доказанному следствию, параметр представляет собой среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Поэтому его называют интенсивностью, или плотностью простейшего потока.

Следствие 6.2. Если входной поток заявок является про­стейшим, то дисперсия скалярной случайной величины (), характеризующая рассеивание числа заявок, поступающих в систему массового обслуживания на временном интервале дли­тельности t, относительно их среднего значения, равно t.

< Если входной поток простейший, то, согласно (6.5), случай­ная величина ()) распределена по закону Пуассона с параме­тром t. Следовательно,

= D[()]=t. > ( 6.6)

Обратим внимание на то, что, согласно (6.6) и (6.7), у случайной величины, распределенной по закону Пуассона, математическое ожидание и дисперсия совпадают.

Пример 6.1. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заказов в час. Считая поток заказов простейшим, определим вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа; б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

Так как поток заказов является простейшим и интенсив­ность = 12(заказов/час) = 0,2(заказа/мин), то, согласно (6.5), имеем:

В соответствии с определением 6.1 простейшего потока, длительность временного интервала между двумя последова­тельно поступающими заявками является случайной величиной (). Для построения математических моделей систем об­служивания необходимо знание функции распределения F_T(T) = Р[() < Т] случайной величины () или ее плотности рас­пределения (вероятностей) f_T(T).

Теорема 6.2. В случае простейшего входного потока с интенсивностью длительность () временного интервала между двумя последовательными заявками имеет экспоненци­альное распределение с параметром .

Следствие 6.3. В случае простейшего входного потока с интенсивностью длительность () временного интервала между двумя последовательно поступающими заявками являет­ся случайной величиной с плотностью распределения (вероят­ностей)

математическое ожидание и дисперсия которой определяются равенствами

(6.9)

(6.10)

Согласно следствию 6.3,

(6.11)

Таким образом, вероятность появления очередной заявки по прошествии времени T при простейшем потоке не зависит от момента появления предшествующей, что является следствием отсутствия последействия в простейшем входном потоке.