1. Расчет разветвленной линейной электрической цепи постоянного тока

Задание 1:

Рис. 1.1 - Исходная схема для расчёта

Дано: R₁= 15 Ом; R₂=12 Ом; R₃=9 Ом; R₄=10 Ом; R₅=7 Ом; E₁=9 В;

E₂=7 В; E₃=10 В; J=1,5 А.

Определить: токи во всех ветвях.

Решение:

1.1 Расчет токов в ветвях по законам Кирхгофа

Для упрощения дальнейших расчётов преобразуем источник тока в схеме на рис 1.1. в источник Э.Д.С.

Источник тока (рис.1.2 а) преобразуется в источник Э.Д.С (рис.1.2 б), где R₅ − в обоих случаях остаётся одним и тем же, а Э.Д.С может быть определена как

E₄ = J*R₁; E₄ =1,5*15 = 22,5В.

Сделав необходимые обозначения и произведя эквивалентную замену источника тока источником Э.Д.С., получим расчётную схему (рис.1.2).

Рис 1.2 - Расчетная схема после эквивалентной замены источника тока источником Э.Д.С.

2. Произвольно выбираем и обозначим на расчетной схеме (рис. 1.2) положительное направление токов в ветвях, направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

3. Определим количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа количество уравнений определяем из выражения:

,		(1.1)
где	- число узлов.

Узлов в схеме – 3 (0, 2, 3), .

Значит, необходимо по первому закону Кирхгофа составить два уравнения. При составлении уравнений учитываем, что положительными считаются токи, направленные к узлу.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 2, 3:

узел 2: I1 - I2 + I3 - I4=0; узел 3: I2 – I3 – I5=0.

(1.2)

По второму закону Кирхгофа количество уравнений определяем из выражения:

,		(1.1)
где	- число ветвей; - число ветвей содержащих источники тока.

Ветвей в схеме - 5 , ветвей содержащих источники тока - 0,

Значит, для рассмотренной цепи, необходимо по второму закону Кирхгофа составить три уравнения.

При составлении уравнений учитываем, падение напряжения считается положительным, если направление тока в сопротивлении совпадает с направлением обхода контура; ЭДС считается положительной, если она действует по направлению обхода контура.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа:

Для контура I: I1(R1 + R2) + I4R5 = E1 + E2 + E4; Для контура II: I2R3 + I3R4 =0; Для контура III: -I3R4 – I4R5 = – E2 + E3.

(1.2)

По первому и второму законам Кирхгофа записаны пять уравнений с пятью неизвестными токами и при решении этой системы уравнений, можно определить все неизвестные токи.

(1.3)

Решение этой системы уравнений достаточно трудоемко, поэтому решим её в программе MathCAD 7.0 pro

Для решения системы уравнений в программе MathCAD используем встроенный оператор Given, Find.

1. Вводим исходные значения.

2. Вводим первичное приближение для неизвестных системы уравнений.

3. Вводим оператор Given.

4. Вводим систему уравнений.

5. Решим систему уравнений, используя, оператор Find.

6. Запишем ответ, полученный в результате вычислений.

Ответ: А;А;А;А;А.

Задание 2а: Определить токи ветвей в схеме методом контурных токов, приведенной на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Решение.

Выбираем произвольно направления трех контурных токов.

В общем виде составляем систему уравнений относительно трех неизвестных контурных токов:

I₁₁R₁₁+I₂₂R₁₂+I₃₃R₁₃ = E₁₁;

I₁₁R₂₁+I₂₂R₂₂+I₃₃R₂₃ = E₂₂;

I₁₁R₃₁+I₂₂R₃₂+I₃₃R₃₃ = E₃₃;

где: R11 = R4+R5; R11 = 17 Ом;

R22 = R1+R2+R5; R22 = 34 Ом;

R33 = R3+R4; R33 = 19 Ом;

R12 = R21 = -R5 = 7 Ом; R13 = R31 = -R4=-10 Ом;

R32 = R23 = 0 Ом;

E11 =E3 -E2=3 В;

E22 =E1 +E2+E4 = 38,5В;

E33 = 0 В.

После подстановки система уравнений принимает вид:

I₁₁17–I₂₂7-I₃₃10 = 3;

I₁₁(–7)+I₂₂34= 38,5;

-I₁₁10 +I₃₃19 = 0;

Решим её в программе MathCAD 7.0 pro. Для решения системы уравнений в программе MathCAD используем встроенный оператор Given, Find.

По правилу Крамера:

;

где:

Получили: I₁₁ = 1,061 A; I₂₂ = 1,351 A; I₃₃ = 0,559 A.

В итоге токи ветвей:

I₁ = I₂₂; I1 = 0.839 A;

I₂ = I₃₃; I2 = 0,559 A;

I₃ = I₃₃ – I₁₁; I3 = -0,502 A;

I₄ = I₂₂ – I₁₁; I4 = 0,29 A;

I₅ = I₁₁; I5 = 1,061 A;

Знак "минус" у тока I₃ указывает на то, что в действительности эти токи имеют направления, противоположные указанным на схеме.

Задание 2б: Определить токи ветвей в схеме методом узловых потенциалов.

Рис. 1.4

Решение.

Заземляем узел 0 (φ₀ = 0). Кроме того, ветвь между узлами 3 и 0 содержит только источник ЭДС, следовательно, независимо от величины протекающего тока I₅ величина φ₃ также известна: φ₃ = -E₂ (направление E₂ от узла 3). Таким образом, в задаче неизвестным является потенциал одного узла: φ₂ . Достаточно составить одно уравнение, где должны быть учтены связи с потенциалом φ₃:

Используем Mathcad:

1. Вводим исходные значения.

2. Вводим первичное приближение для неизвестных системы уравнений

3. Вводим оператор Given.

4. Вводим систему уравнений:

5. Решим систему уравнений, используя, оператор Find.

Получили: ,

Рассчитаем токи ветвей в Mathcad, используя полученные результаты:

1. Вводим исходные значения.

2. Вводим первичное приближение для неизвестных системы уравнений

3. Вводим оператор Given.

4. Вводим систему уравнений:

5. Решим систему уравнений, используя оператор Find.

I₅ найдем по первому закону Кирхгофа:

Из узла 3:

Составление баланса мощностей для схемы (Рис. 1.1)

Решение.

(E₁+E₄)I₁+E₂I₄ +E₃I₅=I₁²(R₁+R₂) +I₂²R₃+I₃²R₄+I₄²R₅

Подставляя значения E, R из данных задач, а также токи, рассчитанные любым методом, получаем:

Расхождение составляет:

Построение потенциальной диаграммы.

Потенциальная диаграмма для замкнутого контура 4-3-a-1-2-b-4,содержащего два источника ЭДС – E₁ и E₃ (рис.1.5). Приравняем к нулю потенциал любой точки контура φ₄ = 0.

Рис. 1.5

Выберем направление обхода по часовой стрелке, составим уравнения для определения потенциалов каждой точки контура, подставим заданные значения токов, сопротивлений и ЭДС и тогда получим:

,

,

,

,

.

После вычислений получили:,,,.

По оси ординат откладываем величину потенциала. По оси абсцисс–сопротивления участка контура в нарастающем порядке.

Перед построением диаграммы выбираем масштабы потенциалов и сопротивлений:. Построим потенциальную диаграмму с помощьюMathcad:

1. Вводим значения

2. Составим матрицы:

3. Построим потенциальную диаграмму:

Составим таблицу результатов:

Метод	I1	I2	I3	I4	I5
Законы Кирхгофа	1,351	0,559	-0,502	0,29	1,061
М. контурных токов	1,351	0,559	-0,502	0,29	1,061
М. узловых потенциалов	1,351	0,559	-0,502	0,29	1,061

Вывод: Независимо от метода решения ответы сходятся.

2. РАСЧЕТ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА