3. Точечные оценки числовых характеристик и параметров распределения

Определение 3. Приближение значения параметров закона распределения либо числовых характеристик случайной величины, вычисленные на основе выборки, называют в математической статистике оценками.

Не касаясь методов получения оценок, скажем, что в качестве оценки математического ожидания берут выборочное среднее которое вычисляют по формуле

(9.6)

где n - объем выборки, –i-й элемент выборки.

В качестве оценки дисперсии берут выборочную дисперсию вычисляемую по формуле

(9.7)

где n, – те же, что и в формуле (9.6).

При небольших объемах выборки (ориентировочно ) необходимо в качестве оценки дисперсии брать так называемую «исправленную выборочную дисперсию»вычисленную по формуле

(9.8)

Для удобства вычислений и практически не умаляя точности результатов вычислений в качестве (i-го элемента выборки в формулах (9.7) и (9.8) ) можно брать среднее значение i-го интервала (разряда) в статистическом ряде, считая, что каждый такой «представитель i-го разряда» повторяется число раз. Иногдаберут равным одному из концовi-го разряда. Тогда формулы (9.6), (9.7) и (9.8) приобретают вид

(9.9)

(9.10)

(9.11)

В §7 была указана связь между числовыми характеристиками случайной величины и параметрами закона распределения. Исходя из этого и учитывая, что оценки параметров законов распределения. Например, для равномерного закона распределения, с учетом формул (7.23) имеем

(9.12)

Решая систему уравнений относительно инаходим их оценкии

Для пуассоновского распределения, учитывая (7.20), имеем

(9.13)

Для показательного закона распределения имеем оценку параметра

(9.14)

для нормального закона

(9.15)

4. Принцип выбора гипотезы о законе распределения генеральной случайной величины

Гипотеза о законе распределения должна выдвигаться как из физических соображений, так и на основе анализа выборки. В первом случае надо исходить из условий формирования того или иного закона распределения. Так, например, если рассматривается случайная величина – время безотказной работы аппаратуры, причем известно, что интенсивность отказов постоянна (а это бывает характерно для нормальных условий эксплуатации, когда период приработки уже закончился, а период износа и старения еще не начинался), то естественно предположить показательный закон распределения. Если же интенсивности отказов самые разнообразные, то более правильно выдвинуть гипотезу о распределении Вейбулла.

Во-вторых, т.к. гистограмма является статистическим аналогом функции плотности, то, анализируя ее, можно сделать предположение о законе распределения. Так, например, для случая, изображенного на рис.3, естественно выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения.

5. Выравнивание статистических рядов

Задача выравнивания статистического ряда заключается в выявлении существенных закономерностей выборки и отбрасывании всех несущественных, случайных. Так как на практике число опытов (наблюдений) всегда ограничено и при этом неизбежны ошибки измерения, то статистическому ряду, конечно же, в большей или меньшей мере свойственны колебания случайного характера.

В предыдущем пункте был рассмотрен вопрос о выборе теоретической кривой распределения (закона распределения), которая бы, в некотором смысле, наилучшим образом описывала исследуемое статистическое распределение.

Здесь будет рассмотрена техническая сторона этой задачи, когда уже заранее, из соображений, связанных с существом задачи, а также с внешним видом гистограммы, сделан выбор выравнивающей кривой.

Пусть сделано предположение о нормальном законе распределения, функция плотности которого имеет вид (см.(7.24))

(9.16)

Чаще всего параметры инеизвестны, но можно найти из оценки, исходя из рассуждений пункта 3 и формул (9.15); тогда функция плотности имеет вид

(9.17)

Остается найти значения этой функции либо на границе разрядов, либо в середине их (чаще берут значения в середине разряда).

При ручном счете для нахождения значений функции (9.17) обычно пользуются таблицей функции плотности нормированной нормальной случайной величины (см. табл.1 Приложения).

Функция (9.16) и функция связаны между собой соотношением

(9.18)

Нормируем исследуемую случайную величину X:

(9.19)

где Т – нормированная нормальная случайная величина.

Тогда для каждого i-го разряда находят с учетом формулы (9.15) значения аргумента

(9.20)

где – серединаi-го разряда, а по формуле (9.18), принимая вычисляют значения

Для показательного закона процесс вычисления значений несколько проще, так проще сам вид функции. Значенияполучают, заменяя значениеего оценкой(см.формулу (9.14)) и, как обычно, беря в качестве значенийx либо среднее значение случайной величины в i-м разряде, либо границы разрядов; значения функции можно найти в табл.4 Приложения.

Совсем просто найти функцию плотности равномерного закона (см.формулу (7.22), вычислив оценки параметров (см.(9.12)).

После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, их наносят прямо на гистограмму, получая тем самым выравнивающую гистограмму кривую функции плотности.

Если исследуемая случайная величина дискретна, то, как было сказано выше, построение гистограммы бессмысленно. В этом случае строят многоугольник распределения относительных частот и многоугольник распределения вероятностей.

Многоугольник относительных частот строят на основе выборки, пользуясь таблицей вида табл.1, по оси абсцисс откладывают выборочные значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие им относительные частоты, вычисленные по формуле (9.4). В этой же системе координат строят многоугольник распределения вероятностей, предварительно вычислив вероятности принятия случайной величиной соответствующих значений согласно закону распределения.

Так, в случае гипотезы о распределения Пуассона, используют формулу

(9.21)

При неизвестном значении параметра а используют его оценку (см.формулу (9.13)).