ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ

Лабораторна робота №12

Тема роботи: Виробнича функція.

Мета роботи: отримати навички побудови виробничої функції та аналізу коефіцієнтів її ефективності

Короткі теоретичні положення

Виробнича функція – це така модель, яка враховує вплив ресурсів виробництва на величину валової продукції. Вона буває двох видів: адитивна та мультиплікативна. У загальному вигляді функція може бути записана:

,

де Y – обсяг виробленої продукції, Х₁, Х₂,..., Х_n – фактори, що визначають обсяг виробництва.

На практиці широке застосування одержали лінійна функція (1) та функція Кобба-Дугласа (2):

(1)

(2)

Функція Кобба-Дугласа шляхом логарифмування легко зводиться до лінійної функції:

(3)

Замінивши , можна записати:

, (4)

Тобто функція стала лінійною.

Для виробничої функції існує шість коефіцієнтів ефективності, які потрібно розрахувати:

1) середня продуктивність ресурсу:

(5)

2)гранична ефективність ресурсу:

(6)

3) еластичність ресурсу:

(7)

4) сумарна еластичність:

(8)

5) міра ефективності ресурсу:

(9)

6) гранична міра заміщення:

(10)

Для більш повного уявлення про виробничу функцію Кобба-Дугласа розглянемо її ізокванти. В тих виробництвах, де фактори взаємозамінні, одного й того ж результату можна досягти різною комбінацією факторів виробництва.

Геометричне місце точок факторів Х₁ та Х₂, для яких показник обсягу виробництва продукції Y залишається сталим, називається ізоквантою.

Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів виробничої регресії через інший фактор і стале значення показника регресії:

(11)

Якщо сталу позначити через b, то отримаємо залежність:

(12)

У випадку, коли а₂ = а₁ одержимо гіперболу .

Приклад розв’язання задачі

Задача: Нехай виробнича регресія має вигляд (регресія Кобба-Дугласа). Тут Y – обсяг випущеної продукції, Х₁ – працезатрати, Х₂ – основні засоби виробництва. На основі статистичних даних (таблиця 1) знайти оцінки параметрів регресії, перевірити адекватність знайденої регресії статистичним даним.

Якщо отримана модель достовірна, знайти коефіцієнти ефективності виробничої регресії Кобба-Дугласа і точковий та інтервальний прогнози. Побудувати ізокванту для , зробити висновки.

Таблиця 1.

№	Х1	Х2	Y
1	44,4	33,3	70,1
2	47,3	38,5	78,6
3	48,2	40,4	81,7
4	49,8	45,8	88,7
5	52,2	46,2	90,8
6	54,3	50	96,4
7	54,4	52,1	99,7
8	56,9	56,7	106,1
9	58,7	57,9	109,2
10	61,5	60,5	112,8
11	63,8	63	117,1
12	64,2	65,1	119,1
пр	65,2	67,1

Щоб зробити необхідні розрахунки, зведемо логарифмуванням задану функцію до виду (4). Всі обчислення знаходяться у таблиці 2.

Таблиця 2.

№	Х1	Х2	Y	X'1=LN(X1)	X'2=LN(X2)	Y'=LN(Y)	Y1	Yp
1	44,4	33,3	70,1	3,793	3,506	4,250	4,252	70,225
2	47,3	38,5	78,6	3,857	3,651	4,364	4,363	78,522
3	48,2	40,4	81,7	3,875	3,699	4,403	4,400	81,447
4	49,8	45,8	88,7	3,908	3,824	4,485	4,491	89,242
5	52,2	46,2	90,8	3,955	3,833	4,509	4,508	90,753
6	54,3	50	96,4	3,995	3,912	4,569	4,570	96,557
7	54,4	52,1	99,7	3,996	3,953	4,602	4,598	99,291
8	56,9	56,7	106,1	4,041	4,038	4,664	4,665	106,171
9	58,7	57,9	109,2	4,072	4,059	4,693	4,686	108,450
10	61,5	60,5	112,8	4,119	4,103	4,726	4,726	112,898
11	63,8	63	117,1	4,156	4,143	4,763	4,762	116,989
12	64,2	65,1	119,1	4,162	4,176	4,780	4,785	119,755
пр	65,2	67,1		4,177	4,206		4,809	122,641

Застосуємо МНК до нових даних та , застосувавши функцію ЛИНЕЙН.

Отримаємо:

0,66826	0,23259	1,02680
0,03350	0,05859	0,10753
0,99952	0,00409	#Н/Д
9376,30	9	#Н/Д
0,31399	0,00015	#Н/Д

В результаті обчислень ми отримали наступну модель:

,

або повертаючись до вихідної форми:

.

Перевіримо адекватність моделі експериментальним даним. Для цього знайдемо значення критерію Фішера на рівні значимості α=0,95 та степенями свободи m₁=2 і m₂=9:

F_кр=4,2565.

Так як F=9376,302>F_кр, то отримана модель достовірна з ймовірністю 0,95.

Для перевірки значущості коефіцієнтів а₀, а₁, а₂ знайдемо спочатку критичне значення критерію Стьюдента на рівні значимості α=0,95 та порівняємо його із значеннями критерію Стьюдента для коефіцієнтів а₀, а₁, а₂:

,

,

,

.

Так як всі відповідні значення , то всі коефіцієнти достовірні з ймовірністю 0,95.

Знайдемо коефіцієнти ефективності отриманої виробничої регресії:

1) середня продуктивність працезатрат:

М₁=1,7848

середня продуктивність виробничих фондів:

М₂=1,9201

Це значить, що на 1 у.о. обсягу виробленої продукції приходиться 1,7848 у.о. працезатрат і 1,9201 у.о. виробничих фондів.

2) гранична ефективність працезатрат:

Е₁=0,2326;

- гранична ефективність виробничих фондів:

Е₂=0,6683.

Це значить, що якщо працезатрати зростуть на 1 у.о., то обсяг виробленої продукції зросте на 0,2326 у.о. і, якщо виробничі фонди зростуть на 1 у.о., то обсяг виробленої продукції зросте на 0,6683 у.о.

3) еластичність працезатрат:

D₁=0,1303;

- еластичність виробничих фондів:

D₂=0,3480.

Отже, якщо працезатрати зростуть на 1%, то обсяг випущеної продукції зросте на 0,13%; якщо виробничі фонди зростуть на 1%, то обсяг випущеної продукції зросте на 0,35%.

4) міра ефективності працезатрат:

G₁=0,0043;

- міра ефективності виробничих фондів:

G₂ = 0,0132.

0,004 у.о. додаткової продукції, що виготовляється додатковим ресурсом працезатрат в 1 у.о. приходиться на 1 у.о. працезатрат; 0,013 у.о. додаткової продукції, що виготовляється додатковими виробничими фондами приходиться на 1 у.о. виробничих фондів.

5) гранична норма заміщення:

Н₁₂=-0,3481.

Це значить, що на 0,3481 у.о. потрібно збільшити середню ефективність працезатрат, щоб компенсувати зменшення середньої ефективності виробничих фондів на 1 у.о. при умові, що обсяг продукції не вміниться.