Кванттык механикагакириспе
.pdf
Бұл жағдайда H = rotA, бұдан Ax = - |
1 |
H y , Ay |
= - |
1 |
H x Az |
= 0 болуы керек екендігін кереміз. |
||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
Себебі |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dAy |
|
|||
|
= rot x |
A = |
|
dA |
|
- |
= 0 |
|||||||||
H x |
|
z |
|
|
|
|
||||||||||
|
dy |
|
|
dz |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H y |
= rot y |
A = |
dAx |
- |
|
dAz |
|
= 0 |
||||||||
|
|
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= rot z |
A = |
|
dAy |
|
|
- |
|
dA |
= H |
||||||
H z |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
dx |
|
|
dy |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
шарты орындалуы қажет. Бұл қатынастарды ескергенде (15.55)-ші Шредингер теңдеуіндегі қосымша мүше мынадай түрге келеді:
R |
dY |
|
dY |
|
dY |
|
1 |
|
dY |
|
dY |
|
1 |
|
dY |
(15.56) |
|
AgradY = Ax |
|
+ Ay |
|
= Az |
|
= |
|
H x |
|
- y |
|
|
= |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
dy |
|
dz |
|
2 |
|
dy |
|
|
|
|
2 |
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||
Мұнда Декарт жүйесімен сфералық координаттар жүйесінің арасындағы (5 тарау) қатынастар ескерілген.
Енді (15.55)-ші Шредингер теңдеуі мынадай түрде жазылады:
Ñ2 Y + |
ie0 |
H |
dY |
+ |
2m0 |
(E -U )Y = 0 |
(15.57) |
|
Hc |
dϕ |
H 2 |
||||||
|
|
|
|
|
Қарастырып отырған жағдайымыз орталық симметриялы күш өрісіндегі зарядталған бөлшектің қозғалысына сəйкес келетіндіктен, соңғы теңдеудің шешуін үш функцияның көбейтіндісі ретінде іздестіреміз:
Y(r,θ,ϕ)= R(r )ρ(θ )F(ϕ)
бұдан
dΨ = imY dϕ
ал
|
- |
ie0 |
H |
|
dY |
= m |
e0 H |
Y |
|
|||||
|
|
Hc |
|
dϕ |
Hc |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
бұл өрнекті ескергенде Шредингер теңдеуі: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
2m0 |
|
|
e0 HH |
|
(15.58) |
|||||
Ñ |
Y + |
|
|
|
|
E + m |
|
|
|
-U Y = 0 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2m0 c |
|
|
||||
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
||||
Мынадай белгілеу енгізіп
|
|
|
|
e0 H |
|
|
|||
|
E + m |
|
|
|
H = E¢ |
|
(15.59) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2m0 c |
|
|
||||
(15.58)-ші теңдеуді көшіріп жазсақ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñ2 Y + |
2m |
0 |
(E¢ -U )Y = 0 |
|
(15.60) |
|||
|
2 |
|
|
||||||
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
энергияның меншікті мəндері En |
мен магнит өрісі болған жағдайдағы |
энергияның |
|||||||
меншікті мəндері En′ арасындағы |
айырмашылық - m |
e0 H |
шамасында. |
|
|||||
2m0 c |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бірақ кванттық сан m орбиталық кванттық сан L − ге байланысты (2L +1) мəнге ие болатындықтан, сыртқы магнит өрісіне орналасқан атомның энергиялық деңгейлері (2L +1) деңгейшелерге бөліктенеді. Ал меншікті функциялар өріс жоқ болғандағы
меншікті функциялармен бірдей болады, өзгермейді. Бұл сыртқы магниттік өрістің m кванттық санға байланысты энергиялық деңгейлердің азғындығын жоятындығын
көрсетеді. Спектрлік сызықшалардың арақашықтығы |
магнит |
өрісінің |
кернеулігіне |
||||||||||||
пропорционал - |
e0 H |
жəне |
n, L |
кванттық сандарына |
|
тəуелді |
болмайды. Спектрлік |
||||||||
2m0 c |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сызықшалардың жиілігі |
- Ei |
|
Eк′ - Ei′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
w = |
Eк |
= |
- Ñm |
e0 |
H = w - Ñm |
e0 |
|
H |
(15.61) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
H |
H |
2m0 c |
0 |
|
2m0 c |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
мұнда w0 - магнит өрісі жоқ болғандағы спектрлердің жиілігі. Магниттік сан үшін сұрыптау ережелері бойынша m = 0,±1, яғни сыртқы магнит өрісінің əсері нəтижесінде
жиілігі w спектрлік сызық үш сызықшаға бөліктенуі кажет. Бұл сызықшалардың жиіліктері
w0 - |
e0 |
H , w0 |
, |
w0 + |
e0 |
H |
|
2m0 c |
2m0 c |
||||||
|
|
|
|
|
Ал, бұл нəтиже классикалық Больцман теориясы болжаған қарапайым триплеттерге сəйкес келеді.
Сонымен, кванттық Шредингер теориясы магнит өрісіндегі атом үшін
классикалық |
Больцман |
теориясына |
жаңа |
деректер |
қоспайды. |
||||
Жалпы, |
Лоренцтің |
қарапайым |
триплет |
сызықтары |
кейбір |
жеке |
|||
жағдайларда, |
яғни |
өрістің |
кернеулігі үлкен |
болғанда байқалады, |
ал |
||||
əлсіз өрістерде тек қана синглеттік спектрлік сызықтар ғана бақыланады. Мысалы, əлсіз магнит өрісіндегі сутегі атомының спектрлік сызықтарының саны Лоренц теориясына (демек Щредингер теориясына да) қайшы келеді. Бұл сəйкес келмеушіліктің негізгі себебі Шредингер теориясында электронның спиндік қасиеті ескерілмейді.
16ТАРАУ. БІРДЕЙ БӨЛШЕКТЕР ЖҮЙЕСІ
§1. Бірдей бөлшектердің ажыратылмау қағидасы
Бірдей бөлшектер деп калыпты жағдайда массалары, зарядтары, спиндері жəне т.б. характеристикалары бірдей бөлшектерді айтады.
Классикалық механикада бірдей бөлшектерді олардың физикалық қасиеттеріне қарап ажыратуға болады. Мысалы, белгілі бір уақыт моментінде бірдей бөлшектер жүйесі берілген болса, онда бөлшектерді нөмірлеп алып, кейін оларды қозғалыс процесінде траекторияларына қарай айыруға болады, яғни кез келген уақыт моментінде кез келген бөлшекті айырып ала аламыз. Енді кванттық механикада бірдей
бөлшектерді бірінен-бірін ажыратуға бола ма, |
жоқ па, соны қарастырайық. Ол үшін |
|||
N |
бірдей бөлшектер жүйесін алып, к, j −ші |
бөлшектердің координаталарын |
qк , q j |
|
арқылы белгілейік. Бөлшектердің массасы m, |
сыртқы өріс энергиясы |
U (qк , t ), |
к жєне |
|
j |
бөлшектердің өзара əсерлесу энергиясы W (qк , q j ), болсын. Мұнда qк |
деп бөлшектің |
||
ауырлық орталығының орнын көрсететін үш кеңістіктік координата (x, y, z) мен
спиндік координатаны SZ айтамыз. |
Сонда |
мұндай |
бөлшектер |
жүйесінің |
|||||||||||||
гамильтонианы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
N |
|
|
H 2 |
2 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
H (q1 |
, q2 |
,..., qк |
,..., q j ,..., qN |
, t )= |
∑ |
|
- |
|
Ñ |
к |
+U (qк |
, t ) |
+ |
∑ |
W (qк , q j ) |
(16.1) |
|
|
|
|
|
|
к=1 |
|
2m0 |
|
|
|
|
|
i¹ j =1 |
|
|
||
Мұнда бөлшектердің бірдейлігі бөлшектердің массалары m , сыртқы өрістегі энергиясы U жəне єсерлесу энергиясы W бірдей болып алынуы арқылы ескерілген. Гамилътонианның бұл қасиеті кез келген сыртқы өрісте де сақталады, яғни барлық бөлшектерге сыртқы өріс бірдей єсер етеді. Егер осы бөлшектер жүйесінің j, к −шы
бөлшектерінің орындарын ауыстырсақ, гамильтониан өзгермейді. Себебі, мұндай орын ауыстыру (16.1)-ші теңдеудегі қосындыларға кіретін қосылғыштардың орындарын ауыстырумен бірдей. Жүйені құрайтын кез келген (j, к) жұп бөлшектер үшін гамильтонианның бұл қасиетін мынадай түрде жаза аламыз:
ˆ |
, q2 |
,..., qк |
,..., q j |
,..., qN , t ) |
ˆ |
, q2 |
,..., q j |
,..., qк |
,..., qN , t ) |
(16.2) |
H (q1 |
= H (q1 |
|||||||||
Егер жүйеде ең болмаса бір |
бөлшек |
өзгеше болса, |
онда осы |
бөлшектің |
||||||
орнын басқа бөлшекпен ауыстырғанда (16.2)-ші қатынас орындалмайды. Сондықтан (16.2)-ші өрнек бірдей бөлшектер жиынының гамильтонианының ең жалпы қасиетін сипаттайды.
Бірдей бөлшектер жүйесінің гамильтонианы кез келген жұп бөлшектердің орындарын ауыстыруға инвариантты.
Бөлшектердің орындарын ауыстыру жағдайы алға қарайда жиі кездесетіндіктен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
- операторы к − шы |
арнайы бөлшектердің орнын ауыстыру операторын Pкj |
|
енгізейік. Pкj |
|||||||||||||||||
жəне j − шы бөлшектердің орын |
ауыстырылуы |
қажет екендігін |
көрсететін белгі. |
||||||||||||||||
Мысалы, |
бізге |
f (q1 , q2 ,..., qк ,..., q j ,...) функциясы берілген болса, онда |
ˆ |
||||||||||||||||
Pкj операторының |
|||||||||||||||||||
єсері нєтижесінде жаңа f ′ |
функциясын аламыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ˆ |
f q , q |
|
,..., q |
|
,..., q |
|
,... |
f ¢ q , q |
,..., q |
|
,..., q |
|
,... |
(16.3) |
|||
|
|
P |
2 |
к |
j |
j |
к |
||||||||||||
|
|
кj |
|
( 1 |
|
|
|
)= |
( 1 |
2 |
|
|
) |
||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pкj операторы сызықтық операторларға жатады. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Енді осы |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pкj операторын пайдаланып (16.2)-ні теңдікті төмендегіше жазамыз: |
|||||||||||||||||||
|
ˆ |
ˆ |
|
,..., qк ,..., q j |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
(16.4) |
|||
|
Pкj H (q1 , q2 |
,..., qN , t )= H (q1 , q2 |
,..., q j ,..., qк ,..., qN , t )Pкj |
||||||||||||||||
(16.4)-ші |
өрнек |
орын |
ауыстыру |
операторы |
|
ˆ |
|
бірдей бөлшектер жүйесінің |
|||||||||||
|
Pкj |
|
|||||||||||||||||
гамильтонианымен коммутативті екендігін көрсетеді. Гамильтонианның осы қасиетін пайдаланып, бірдей бөлшектер жиынының күйін сипаттайтын толқындық функцияларды қарастырайық. Бірдей бөлшектерден тұратын жүйенің толқындық
функциясын Y(q1 , q2 ,..., qк ,..., q j ,..., qN , t ) |
арқылы белгілейік. |
Бұл |
функция Шредингер |
|||||||||||
теңдеуін қанағаттандыруы керек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dY(q1 , q2 |
,..., qк ,..., q j ,..., qN , t ) |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
iH |
|
|
|
|
|
= HY(q1 |
, q2 ,..., qк |
,..., q j ,..., qN , t ) |
|
(16.5) |
||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осы |
теңдеудегі к, j −шы |
бөлшектердің |
орнын |
ауыстыралық. |
Ол |
үшін |
(16.5)-ші |
|||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
əсер етеміз: |
|
|
|
|
|||
теңдеуге орын ауыстыру операторымен Pкj |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
d (Pкj Y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pкj |
(HY)= iH |
dt |
|
|
|
|
(16.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
операторларының |
коммутативтілігі |
|
қасиетін пайдалансақ, |
(16.6) |
теңдеуді |
|||||||
Pкj |
, H |
|
||||||||||||
мынадай түрде жазуға болады:
Ψ′(q1 , q2 ,..., q j ,..., qк ,...) толқындық функциясын аламыз. Бірдей бөлшектердің
ажыратылмау қағидасы бойынша бұл жаңа күйді жүйенің бұрынғы күйлерінен айыру мүмкін емес, яғни Ψ жєне Ψ′ функциялары жүйенің бір күйін сипаттайды.
Бір физикалық күйді сипаттайтын əр түрлі толқындық функциялардың бірімен бірі өзгешелігі ажыратылмау қағидасы бойынша тұрақты шамаға тең болуы керек:
Ψ(q1 , q2 ,..., qк ,..., q j ,..., qN , t ) = λΨ(q1 , q |
ˆ |
(16.9) |
2 ,..., q j ,..., qк ,..., qN , t )Pкj |
мұнда λ − тұрақты көбейткіш. Бұл теңдікті орын ауыстыру операторын пайдаланып былай жазуға болады:
ˆ |
|
|
ˆ |
(16.10) |
Pкj Y(q1 , q2 ,..., qк ,..., q j |
,..., qN , t ) = λY(q1 , q2 ,..., q j ,..., qк ,..., qN , t )Pкj |
|||
(16.10)-шы өрнектен λ − параметрінің |
Pкj операторының |
меншікті мєні |
екендігін |
|
көреміз. Демек, (16.10)-шы теңдеу |
|
ˆ |
операторының |
меншікті |
Pкj |
- орын ауыстыру |
|||
|
ˆ |
|
|
|
мєндері мен меншікті функцияларын анықтауға мүмкіндік беретін теңдеу. |
λ − ның |
||||||
мєнін анықтау үшін (16.10) теңдеуіне |
ˆ |
|
|
|
|||
Pкj - операторымен тағы да єсер етеміз: |
|
||||||
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
2 |
Y |
(16.11) |
|
|
Pкj |
(Pкj |
× Y)= λ(Pкj |
× Y)= λ |
||
бұдан |
ˆ |
- операторының меншікті мєндері: |
|
|
|
||
Pкj |
|
|
|
||||
|
|
|
|
λ = ±1 |
|
|
(16.12) |
Сонымен, |
ˆ |
- операторының меншікті функциясы болып к |
жəне j − ші бөл- |
Pкj |
шектердің орындарын ауыстырғанда таңбасы өзгермейтін, не өзгеретін кез келген екі толқындық функциялар болып табылады. Егер бөлшектердің орындарын ауыстырғанда толқындық функциянын таңбасы өзгермесе, онда толқындық функция симметриялы деп аталады.
ˆ |
= +YS |
(16.13) |
Pкj YS |
||
Егер, керісінше, Pкj орын ауыстыру операторының |
əсері нєтижесінде толқындық |
|
ˆ |
|
|
функциясы таңбасын қарама қарсыға өзгертсе, толқындық функция антисимметриялы деп аталады:
ˆ |
= -YS |
(16.14) |
Pкj YS |
Симметриялы жəне антисимметриялы күйлердің біріне бірінің ауыспайтындығын дєлелдейік. Ол үшін Шредингер теңдеуін
|
dΨ |
ˆ |
|
|
|
||
iH |
|
dt |
= HΨ |
|
|
(16.15) |
|
|
|
|
|
|
|
||
алып, оны былай түрлендіріп жазайық: |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
dt Ψ |
iH |
= HΨdt |
|
|
(16.16) |
||
мұнда dt Ψ толқындық функцияның dt уақыт аралығындағы өсімшесі, |
t = 0 уақыт |
||||||
моментінде Ψ − координаталардың симметриялы толқындық |
функциясы |
болсын. |
|||||
Гамильтон операторы H симметриялы оператор болғандықтан, HΨ − функциясы да |
|||||||
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
координаталардың симметриялы функциясы |
болады, яғни |
өсімше |
dt Ψ |
бөлшек |
|||
координаталарының симметриялы функциясы. Орын ауыстыру операторын пайдаланып бұл аталғандарды былай жаза аламыз:
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
(16.17) |
Pкj |
(HΨS |
)= H (Pкj |
ΨS )= HΨS |
|
Бұдан (16.16)-шы теңдеудің негізінде, барлық к, j |
жұп бөлшектер үшін |
|
||
|
ˆ |
|
|
(16.18) |
|
Pкj (dt ΨS ) = dt ΨS |
|||
Сонымен, біздің дєлелдеуіміз бойынша функция Ψ кез келген уақыт моментінде (t = 0) симметриялы болса, онда Ψ функциясының симметриялылығы кейінгі жєне болашақ уақыт моменттерінде де сақталады. Тап осындай түрде антисимметриялы Ψa
толқындық функциясының таңбасының да сақталатындығын дєлелдеуге болады. Бұл жағдайда
|
|
|
|
Pкj Ψa = −Ψа |
|
|
|
(16.19) |
||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
одан |
|
|
|
ˆ |
(dt Ψa |
)= −dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψa |
|
|
(16.20) |
|||
|
|
|
|
Pкj |
|
|
||||
сонда (16.16)-шы теңдеудің негізінде: |
(dt Ψa |
)= −dt |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ˆ |
Ψa |
|
|
(16.21) |
||
|
|
|
|
Pкj |
|
|
||||
яғни |
антисимметриялық |
функцияның |
өсімшесі |
де |
антисимметриялы |
|||||
болады. |
Сондықтан |
жүйе |
антисимметриялы |
толқындық |
функциямен |
|||||
сипатталса, онда бұл |
жүйенің |
толқындық |
Ψа функциясы |
єр |
уақытта да |
|||||
антисимметриялы болады.
Бұл дəлелдеулер кванттық күйлердің екі класқа бөлінуінің (симметриялы жєне антисимметриялы) абсолютті болатындығын көрсетеді: егер жүйе белгілі бір уақыт моментінде кез келген күйде байқалған болса, онда бүл күй сақталады, басқа күйге ауыспайды.
§ 3. Бозе жəне Ферми бөлшектері. Паули қағидасы
Тəжірибелер мен бақылаулар табиғатта симметриялы толқындық функциямен де жєне антисимметриялы толқындық функциямен де сипатталатын бөлшектер болатындығын көрсетеді. Егер бөлшектер симметриялы толқындық функциямен сипатталса, олардың спиндері нольден басталатын бүтін сандарға пропорционал:
S z = ms H, ms = 0, ±1, ±2, ±3,...
Мұндай бөлшектер Бозе бөлшектері (бозондар) деп аталады. Олардың жиыны БозеЭйнштейн статистикасына бағынады. Керісінше, берілген бөлшектердің күйі антисимметриялы толқындық функциямен сипатталса, олардың спиндері жартылай бүтін сандарға пропорционал болады:
ms |
= ± |
1 |
, |
± |
3 |
, |
± |
5 |
,... |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||
Мұндай бөлшектер Ферми бөлшектері (фермиондар) деп аталады. Олардың жиыны Ферми-Дирак статистикасына бағынады. Табиғатта кездесетін қарапайым бөлшектердің спиндері 0, 1/ 2 жəне 1 −ге тең. Бұның ішінде: электронның, протонның,
нейтронның, μ − мезонның жєне олардың антибөлшектерінің спиндері ±1/ 2 − ге тең. Сондықтан бұл бөлшектер фермиондарға жатады. к−,π мезондарыньщ спиндері 0 − ге
тең. Олар бозондар болып табылады. Спині 1 −ге тең бөлшек – фотон. Табиғатта кездесетін карапайым бөлшектер не фермиондарға, не бозондарға жатады.
Егер жүйе фермиондардан тұратын болса, онда Шредингер теңдеуінің шешуі антисимметриялы толқындық функциялар болады. Ал бозондар жүйесі – симметриялы функциялармен сипатталады. Екі бөлшектен тұратын жүйені қарастырайық. Осы жүйені сипаттайтын Ψ(1,2)− толқындық функция Шредингер тендеуінің шешуі болсын.
Онда бірдей бөлшектердің ажыратылмау қағидасынан Ψ(2,1)− функциясы да (16.5)-ші
теңдеудің шешуі болады. Осы екі шешуден антисимметриялы жөне симметриялы функциялар алу үшін мынадай комбинациялар
Ψa = A[Ψ(q1 , q2 )− Ψ(q2 , q1 )] Ψs = B[Ψ(q1 , q2 )+ Ψ(q2 , q1 )]
құрастыру қажет.
Мұндай толқындық функцияларды антисимметриялау жəне симметриялау қағидасын N бірдей бөлшектер жүйесіне да жалпылауға болады. Мұндай жүйеде орын ауыстырулардың мүмкін саны N! Əрбір келесі функция алғашқы Ψ(q1 , q2 ,...qN )
функциядан кез келген екі жұп бөлшектердің орындарын тізбектен ауыстыру арқылы алынады. v тізбектен екі бөлшектің (к, j) орындарын ауыстырғанда пайда болатын
толқындық функцияны ˆ Ψ( ) деп белгілейік. Сонда тұрақты санға дейінгі
Pv q1 , q2 ,...qN
дєлдікпен алынған симметриялы жəне антисимметриялы функциялар:
ˆ |
|
,..., qN |
, t ) |
(16.22) |
Ψs = A∑Pv Ψ(q1 , q2 |
||||
v |
|
|
|
|
v ˆ |
Ψ(q1 , q2 ,..., qN , t ) |
(16.23) |
||
Ψa = B∑(−1) Pv |
||||
v
Кванттық механика көп бөлшектердің қозғалысын көптеген жағдайда дєл есептеп шыға алмайды. Көбінесе, бұл жағдайда ұйытқулар теориясын пайдаланады. Мұнда нольдік жуықтауда бөлшектер єсерлеспейді деп қабылданады да, ал олардың өзара єсерлесуі теорияның жоғарғы ретті жуықтауларында ескеріледі. Нольдік жуықтаудағы жүйенің гамильтон функциясының операторы жеке бөлшектердің гамильтониандарының қосындысына тең болады:
ˆ 0 |
N |
ˆ |
H |
= ∑ |
H (L) |
|
L=0 |
|
Бұл жағдайда ˆ операторының меншікті функциялары жеке бөлшектердің
H
операторларының меншікті функцияларының көбейтіндісі немесе сызықтың комбинацияларының көбейтіндісі түрінде беріледі.
ΨnL (L)функциясы мынадай теңдеуді қанағаттандырсын
[ˆ (L)−εnL ]ΨnL (L)=
H 0
мұнда nL − L −ші бөлшектің кванттық күйін сипаттайтын кванттық сандардың жиыны.
Сонда, E = ∑ εnL меншікті мəндерін қанағаттандыратын H −операторының |
меншікті |
|
|
ˆ |
|
L |
|
|
функциялары |
Ψn1 (q1 ) Ψn2 (q2 ),..., ΨnN (qN ) |
|
|
|
|
Функцияларының сызықш комбинациясы болады. |
|
|
Паули |
фермиондардың мынадай қасиетін байқаған: бір кванттық |
деңгейде |
(n, L, m, mS )S − 4 |
кванттық сандары бірдей 2 фермион бола алмайды. Бұл Паули қағидасы |
|
деп аталады. |
|
|
§ 4. Элементтердің периодтық таблицасы
Химиялық элементтердің Д.И. Менделеев тағайындаған периодтық заңдылығы табиғаттағы маңызды заңдылықтарға жатады. Табиғаттағы элементтердің орналасу қағидасын түсіну үшін єрбір элемент оның алдындағы элементтердің ядросына бір
протон, қажетті нейтрон жєне электрондық қабықшаға бір электрон қосу арқылы алынады деп қарастырайық.
Нейтронды периодтық таблицаның нолінші элементі ретінде қарастыруға болады, оның заряды нольге тең, массасы протон массасына жуық. Сутегі бірінші элемент. Оның ядросы бір протоннан, электрондық қабықшада бір электрон ор-
наласқан. Қалыпты жағдайда бұл |
элементтің негізгі күйі n = 1, m = 0, L = 0, mS = ±1/ 2 |
кванттық сандармен сипатталады. |
Осы n = 1 күйіне тағы бір электрон орналасуына |
болады. Бұл электронның спині Паули қағидасы бойынша алғашқы электронның спиніне қарсы бағытталуы керек.
Сонымен, ядроға тағы бір протон, екі нейтрон қосылып, бірінші электрондық
қабықшаға тағы бір электрон қоссақ, |
периодтық жүйенің екінші элементін – гелийді |
|||||
аламыз. Гелийдің екі электроны n =1, |
m = 0, |
L = 0, mS = ±1/ 2 |
күйлерін толық камтиды. |
|||
Сондықтан |
бірінші қабықша толықтырылған |
болып |
есептеледі |
жєне ол |
||
K −электрондық қабықша деп аталады. |
|
|
|
|
||
Үшінші |
элементті алу үшін |
келесі |
үшінші |
электрон екінші |
электрондық |
|
қабықшаға орналасуы керек. Ядросында үш протон, төрт нейтрон, электрондық қабықшада үш электрон бар химиялық элемент литий деп аталады. Литийден
бастап, екінші электрондық кабықша − L − қабықша толтырыла бастайды жєне бұл екінші периодтың бірінші элементі болып табылады. L электрондық қабықшаға 2n2 = 2 × 22 = 8 электрон орныға алады.
Мұның ішінде s − күйде ,
нейтрондардың санын бірге арттыра отырып Be → B → C → N → O → F → H → Ne − ге жеткенде L қабықшадағы электронның саны 8-ге толады.
Na элементінен үшінші период басталады. Бұл үшінші − M қабықшада небары 18 электрон орналаса алады.
17 ТАРАУ. ГЕЛИЙ АТОМЫНЫҢ ҚАРАПАЙЫМ ТЕОРИЯСЫ
§ 1. Моменттерді қосу жəне Рессел-Саундерс байланысы
Гелий атомы периодтық таблицаның екінші элементі. Оның электрон қабықшасында екі электрон бар, ядросы екі протоннан жəне екі нейтроннан тұрады.
Көп электронды атомдарды қарастырудың негізгі ерекшеліктерінің бірі-бұған кіретін электрондардың орбиталық жəне спиндік моменттерінің қалай қосылатындығында.
Гелий атомында єрбір электронның орбиталық моменті
L 21 = H 2 L1 (L1 |
+1), |
L 22 = H 2 L 2 (L 2 |
+1) |
(17.1) |
жəне спиндік моменті: |
|
|
|
|
S 21= H 2 s1 (s1 |
+1), |
S 22= H 2 s2 (s2 |
+1) |
(17.2) |
Атомның толық моментін анықтаудың екі мүмкіншілігі бар. Алғашқысы, алдымен электрондардың орбиталық жєне спиндік моменттерін жеке-жеке анықтап, толық момент осы жекеленген орбиталық жəне спиндік моменттердің векторлық қосындысына тең болады:
L = L1 + L2
R R R
S = S1 + S2
толық момент:
R |
= L + S |
(17.3) |
j |
(17.3) бойынша моменттерді қосу - LS байланысы немесе Рессел-Саундерс байланысы деп аталады. Бұл байланыс негізінен жеңіл атомдарда кездеседі.
Толық моментті анықтаудың екінші мүмкіндігі – алдымен əрбір электронның толық моменті анықталады да, атомның моменті осы екі электронның толық моменттерінің векторлық қосындысына тең болады:
R |
R |
= L2 |
+ S2 |
j1 |
= L1 + S1 , j2 |
||
|
j = j1 + j2 |
(17.4) |
|
Мұндай байланыс (j j ) байланысы деп аталады. Мұндай байланыста сақталу заңдары
тек толық момент үшін орындалады, яғни күшті спин – орбиталық байланыс жағдайында ғана кездеседі. Негізінен бұл байланыс ауыр атомдарда орындалады.
Спиндік жєне орбиталық моменттерінің арасындағы байланысы РесселСаундерс байланысына жататын екі электроннан тұратын гелий атомының толқындық функциясын қарастырайық.
Электрондар Паули қағидасына бағынатындықтан толық толқындық функция төрт кванттық санды орын ауыстыруға антисимметриялы болуы қажет:
Y a = C(S |
, S |
|
) Y |
|
R R |
) = -C(S |
|
, S |
|
) Y |
|
R R |
) = -C(S |
|
, S |
|
) Y |
|
R R |
2 |
|
(r , r |
2 |
1 |
|
(r , r |
2 |
1 |
|
(r , r ) |
|||||||||
1 |
|
n n |
2 |
1 2 |
|
|
n n |
1 2 |
|
|
n n |
2 |
2 1 |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Рессел-Саундерс байланысында электронның орбиталық жəне спиндік моменттерінің арасындағы байланыс єлсіз болғандықтан, толық толқындық функция спиндік жєне координаттық бөліктердің кµ бейтіндісі түрінде жазылады. Сонда Шредингер теңдеуінің мынадай екі түрлі шешуі болады:
Y a = C c (S |
, S |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
) |
(17.5) |
||||||
2 |
)× Ya (r |
, r |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||
жєне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
a′ |
= C |
а |
R |
|
R |
2 )× Y |
с |
|
R |
R |
(17.6) |
|||||||
|
|
(S1 , S |
|
(r1 , r2 ) |
|||||||||||||||
Толқындық функцияның координатқа |
|
|
|
байланысты бөлігін |
қарастыралық, |
||||||||||||||
n1 ¹ n2 болса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
R |
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Yn n |
(r1 |
, r2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
(u |
+υ ) |
|
(17.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
R |
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Y n n |
(r1 |
, r2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
(u |
-υ ) |
|
(17.8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мұнда: |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
(17.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u = Yn (r1 )Yn |
2 |
(r2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ = Yn |
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
(17.10) |
|||||
(r2 )Yn |
(r1 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.5) жєне (17.6) толқындық функциялардың спиндік бөліктерін қа-растырайық. Əрбір электронның спиндік функциясын спиндік оператордың z осіне проекциясының меншікті функциялары түрінде қабылдалық: