Конспект лекций по алгебре

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

a AB (x2 x1; y2 y1; z2 z1), где A(x1; y1; z1),

B(x2; y2; z2) (рис. 5.4).

y

A

yA

Рис. 5.4

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

M1 x1; y1;z1

Рис.5.5.

Пусть A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), а M x; y; z , тогда разложим обе части равенства по базису i, j, k , тогда (x x1) (x2 x1),

(y y1) (y2 y1),

(z z1) (z2 z1)

т.к. 0, следовательно

Когда M делит отрезок пополам, имеем:

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число

(скаляр) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

где - угол между векторами a, b . Обозначают скалярное произведение

как a b (a,b).

Т.к. прbа a cos , то скалярное произведение можно вычислить по

формуле

Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения. A F s.

Свойства скалярного произведения

1) a b b a (коммутативность).

Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел;

2) (a b)c a c b c (дистрибутивность).

Для доказательства этого свойства воспользуемся линейным свойством проекции и формулой, связывающей скалярное произведение и проекцию.

с пр c а с пр c b = a c b c;

2)Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого

вектора:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Выполняется для любого вектора a, следует из определения, поскольку угол между вектором a и a равен нулю, тогда cos 1;

4) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения

a ( b) (a b)

где - произвольное действительное число.

a( b) a прa ( b) a прa (b) (a b);

5)Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

тогда cos 0, тогда из определения следует, что a b (a,b) 0.

Докажем теперь, что если скалярное произведение векторов a, b равно нулю, то они ортогональны. Пусть оба вектора ненулевые, (т.к. в

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

противоположном случае доказательство тривиально, поскольку нулевой вектор не имеет определенного направления и его можно считать

a b 0 только в том случае, если cos 0, т.е. векторы a, b должны быть ортогональны.

6) векторы ортонормированного базиса декартовой прямоугольной

системы координат i, j, k удовлетворяют соотношениям:

(i,i) ( j, j) (k,k) 1, (i, j) ( j,k) (k,i) 0 т.к. векторы

попарно ортогональны i j k .

Если базисные векторы i, j, k ортогональны, то для каждого вектора

Геометрический смысл скалярного произведения: с помощью скалярного

произведения можно вычислить проекцию вектора a на вектор b, и косинус угла между векторами:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

где a ( 1; 2; 3), b ( 1; 2; 3)– координаты векторов в

ортонормированном базисе.

b 1i 2 j 3k, тогда найдем скалярное произведение векторов используя свойства дистрибутивности и ассоциативности:

a b ( 1i 2 j 3k) ( 1i 2 j 3k)=

=1 1i i 1 2i j 1 3i k

2 1 j i 2 2 j j 2 3 j k

3 1k i 3 2k i 3 3k k 1 1 2 2 3 3.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

между векторами a, b .

Следствие. Если A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), тогда:

AB (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 .

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Рис. 6.1

Свойства векторного произведения

Свойство непосредственно вытекает из определения векторного произведения

Теорема. Чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулю.