Конспект лекций по алгебре

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Комплексные числа и действия над ними

Определение. Комплексным числом z называется выражение вида

x Rez, y называют мнимой частью комплексного числа и обозначают y Imz. Множество всех комплексных чисел будем обозначать через .

Геометрический смысл комплексного числа

Комплексное число z x iy изображается в плоскости XOY точкой

M с координатами (x,y) либо вектором, начало которого находится в точке O(0,0), а конец в точке M(x,y) (рис. 1.3).

Длина вектора OM называется модулем комплексного числа и

обозначается

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

z=x+iy

ρ

φ

x

Рис. 2.1

Угол , образованный положительным направлением оси ОХ и

вектором OM , называется аргументом комплексного числа и обозначается

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Если в алгебраической форме записи комплексного числа вместо декартовых координат точки подставить их полярное представление (1.4), то получим тригонометрическое представление комплексного числа.

Определение. Каждое комплексное число, отличное от нуля, можно

записать в тригонометрической форме

С помощью формулы Эйлера:

каждое комплексное число может быть записано в показательной форме

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2) (x1 x2) i(y1 y2) z1 z2 ;

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Определение. Два комплексных числа называются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части, т.е. z1 z2, если x1 x2 и

y1 y2.

1.Сложение и вычитание

Действие сложения и вычитания комплексных чисел z1 x1 iy1 и

z2 x2 iy2 производится по правилу сложения и вычитания двучленов

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2).

Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим

формулу:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2)

раскроем скобки

z1 z2 x1 x2 x1 iy2 iy1 x2 (i)2 y1 y2

используя формулу (2.2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:

3.Деление.

Чтобы преобразовать дробь z1 в комплексное число, необходимо

z2

числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (2.9)

тригонометрической или в показательной форме

1.Умножение:

При умножении двух комплексных чисел заданных в

тригонометрической или показательной формах их модули

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

1 2(cos 1 cos 2 iisin 1sin 2 isin 1 cos 2

icos 1sin 2)

1 2(cos 1cos 2 sin 1sin 2 i

(sin 1cos 2 cos 1sin 2))

1 2(cos( 1 2) sin( 1 2));

2.Деление:

При делении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Лекция 3

Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня,

основные теоремы алгебры, следствия из теорем.

3.Возведение в степень.

Для возведения комплексного числа в целую положительную степень n

применяют формулу Муавра:

Решение. 1. Пусть z z1 , тогда для комплексного числа в числителе и

z2

знаменателе найдем модуль и аргумент и перепишем z1,z2 в показательной

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

iy

z0

z1 x

z3

z2

Рис. 2.2

Пример. Найдем все значения 31.

Решение. Тригонометрической формой числа 1 является:

1(cos0 isin0).

различными будут лишь корни при следующих значениях k 0,1,2,

w0 31(cos0 isin 0) 1; 3 3