Конспект лекций по алгебре

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

<ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК>

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

Аналитическая геометрия и алгебра

160100.65 – Самолето и вертолето строение

г. Владивосток

2012

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Лекция 1

Конечные суммы и их свойства. Вычисление определителя

2 2 и 3 3. Системы координат: декартовая, полярная.

Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства,

понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.

В математике часто рассматривают суммы большого числа слагаемых которые имеют один и тот же вид, но различаются индексами. Для них используют символ суммы (от латинского слова umma). Под символом суммы ставится «индекс суммирования» (любая буква) и значение от которого наш индекс изменяется (некоторое целое число) сверху над символом ставится значение, до которого данный символ изменяется – это пределы суммирования. После символа суммы ставится суммируемое выражение.

n

Определение. Символ , после которого стоит некоторое k 1

выражение, содержащее индекс k, обозначает сумму этих выражений для всех значений индекса k от 1 до n (n N) и называется конечной суммой

n

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Здесь символ k - индекс суммирования, интервал (1,...,n) - интервал

суммирования, ak - суммируемое выражение.

Очевидно, что вместо k может быть взята любая другая буква, т.е.

Примеры:

5

1) ak a1 a2 a3 a4 a5;

k 1

3

2) j j 1 1 2 2 3 3

j 1

Замечание. Иногда вместо 1 k n пишут k(i), тогда символ

ai означает сумму всех таких ai , что целое число i удовлетворяет k(i)

условиям . Если таких целых i нет, сумма считается равной 0. Наконец,

если k(i) включает два или больше условий, это означает, что все условия должны выполняться одновременно.

Свойства конечных сумм

nn

1)Pk Pk ;

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Иногда требуется записать сумму всех слагаемых кроме одного или двух. Если пропущено слагаемое с номером l, это записывается в виде

ai

k(i) l

Вычисление определителя

Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое det A, ∆, A, A) которое сопоставляется квадратной матрице и может быть вычислено по ее элементам в соответствии со следующими правилами.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали.

3) Для определителя третьего порядка применяют следующее правило:

1) Правило параллельного переноса.

а11а22а33 а12а23а31 а21а32а13 а13а22а31 а21а12а33

а11а23а32.

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

называется радиус-вектором точки М по отношению к точке O. Если в пространстве выбрать какой-либо базис (рис 1.1), то точке М можно поставить в соответствие упорядоченную тройку чисел – компоненты ее радиус-вектора.

Определение: Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Итак, рассматриваем три взаимно ортогональные оси в трехмерном пространстве, исходящие из общей точки

O (начала координат и образующие правую тройку).

Рис.1.2.

Оси Ox, Oy, Oz называются осями координат: абсцисса, ордината и аппликата. Плоскости xOy, xOz, yOz называются координатными плоскостями, которые делят все пространство на октаны. Мы рассматриваем радиус-вектор точки М .

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

просто называют прямоугольными координатами.

Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. И наоборот, каждая упорядоченная тройка чисел определяет единственным образом точку в пространстве.

Радиус-вектор является диагональю параллелепипеда. Поэтому

Если обозначить через , , углы, образованные радиус-вектором с координатными осями (рис.1.2.), то будем иметь:

(1.2)

Эти косинусы называются направляющими косинусами радиус-вектора точки M . Из (2), учитывая (1), получаем важное соотношение:

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна единице.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Из формулы (2) следует, что координата точки М положительна, если радиус-вектор этой точки образует с осью острый угол, и отрицательна, если этот угол тупой.

Измерения x, y, z параллелепипеда равны расстояниям точки М

соответственно от координатных плоскостей Ox, Oy, Oz.

Определение: Декартовые прямоугольные координаты точки М пространства представляют собой расстояния от этой точки до координаты плоскостей, взятые с надлежащим знаком.

Кроме прямоугольной декартовой системы координат используют полярную систему координат. Эта система определена на плоскости, если существует точка O, называемая полюсом и исходящий из этого полюса луч l, который называется полярной осью.

M

r

l

O

Рис.1.3.

В данной системе положение точки фиксируется двумя числами:

радиус-вектором точки r и углом между полярной осью и вектором

OM , т.е. M(r, )

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Угол называется полярным, отсчитывается от полярной оси в направлении против часовой стрелки. У плюса точки O r 0, а угол не определен. У всех остальных точек r 0 и изменяется в пределах от 0

до 2 , измеряется в радианах.

Если мы поместим полярную систему координат полюсом в начало прямоугольной декартовой системы координат, то декартовы координаты будут выражаться через полярные по формулам:

x rcos , y rsin (1.4)

Полярные координаты через декартовые выражаются соотношениями: