Конспект лекций по алгебре

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Из соотношения (7.9) легко определяются условия ортогональности и коллинеарности прямых.

Если L1 || L2, то угол между ними равен нулю 0 и, следовательно

tg 0, что возможно только при обращении в нуль числителя в формуле

(7.9) k1 k2 0 и значит, для параллельных прямых k1 k2.

т.е. знаменатель формулы (7.9) обращается в нуль :1 k2 k1 0. Откуда

получаем условие ортогональности прямых: k1 1.

k2

Расстояние от точки до прямой

Выразим расстояние от произвольной точки на плоскости М0(х0; у0)

до прямой L: Ax By C 0. Пусть нам известны n (A; B) и

М1(x1, y1) лежащая на прямой. Тогда, расстояние от точки до прямой

можно выразить через проекцию d npn M1M0 . И по формуле

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Определение. Если в пространстве задана произвольная плоскость и

фиксирована произвольная декартова система координат, то плоскость определяется в этой системе координат уравнением первой степени (и

наоборот: всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными x, y, z

определяет плоскость относительно данной системы координат).

Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

где A2 B2 C2 0.

n(A,B,C)

M0(x0, y0,z0)

Рис. 8.1.

Общее уравнение плоскости

Раскроим скобки в уравнении (8.4) и обозначим константу

Ax0 By0 Cz0 D. Получим уравнение:

– общее уравнение плоскости.

Если Ax By Cz D 0 и A1x B1y C1z D1 0

определяют одну и ту же плоскость, то существует действительное число t,

такое, что A tA1, B tB1, C tC1, D tD1.

1) D 0– плоскость проходит через начало координат O(0; 0; 0)

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

M3(x3; y3; z3).

Чтобы произвольная точка пространства M(x; y; z) принадлежала плоскости, т.е. M,M1,M2,M3 , необходимо и достаточно, чтобы

M1

M3

M

M2

Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора

Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в

указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими

векторами данной плоскости.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

n

p

x

Рис. 8.5

Координаты вектора n(cos ,cos ,cos ), очевидно M тогда и

только тогда, когда прn OM p, следовательно, должно выполняться

нормированному виду, нужно каждый коэффициент уравнения умножить на

Расстояние от произвольной точки пространства до указанной плоскости определяется аналогично расстоянию от точки до прямой :

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. Если даны две не параллельные плоскости

1 : A1x B1y C1z D1 0, 2 : A2x B2y C2z D2 0 и

1 2 L, а и – какие угодно числа неравные нулю одновременно,

то A1x B1y C1z D1 A2x B2 y C2z D2 0

есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку M0(x0; y0; z0), называется связкой плоскостей (с центром в

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности

и перпендикулярности плоскостей

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Лекция 9

Уравнение прямой в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве,

разные задачи

Цель: изучить уравнения прямой в пространстве и их характеристики,

методы определения взаимного расположения прямой и плоскости.

Прямая как пересечение двух плоскостей

Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух непараллельных плоскостей 1, 2 (рис.9.1)

L

a

1

2

Рис. 9.1

Каноническое уравнение прямой

Ненулевой вектор a параллельный заданной прямой Lбудем называть

направляющим вектором этой прямой (рис. 9.2). Выведем уравнение прямой,