Конспект лекций по алгебре

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Полученные значения являются вершинами правильного треугольника

вписанного в окружность радиуса 31.

n-угольника, вписанного в единичный круг.

Определение. Многочленом одной переменной называется функция

f (z) anzn an 1zn 1 ... a1z a0, где a0,...an - действительные или комплексные коэффициенты, а n - целое неотрицательное число. Если an 0, n называют степенью многочлена и обозначают n deg f (z), а an- старшим коэффициентом. Многочлен f (z) называется нулевым, если все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент a0 при z в нулевой степени называют постоянным или свободным членом.

Многочлены степени 1,2,3 называются соответственно линейными,

квадратичными (или квадратными), кубичными и т.д. В дальнейшем рассматриваются только действительные коэффициенты an.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен положительной степени имеет, по крайней мере, один корень действительный или

комплексный.

Деление многочленов. Из курса элементарной алгебры известен метод деления уголком для целых чисел, аналогичный алгоритм имеет место и для многочленов.

Пусть даны два многочлена: f (z) apz p ap 1z p 1 ... a0 и

Если многочлены имеют действительные коэффициенты, то h(z) и r(z) также имеют действительные коэффициенты.

Пример. Проверить, делится ли многочлен z3 6z2 12z 8 на

z 2.

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

f (z) (z a)h(z) f (a).

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

14z3 12z2

_

14z3 28z2

40z2 10z

_

40z2 80z

70z 8

_

70z 140

148;

степень остатка меньше степени делителя, останавливаем деление.

деление выполнено правильно.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Доказательство данной теоремы следует из теоремы Безу.

Правило определения кратности корня

degh1(z) n k 1, продолжая вычислять производные на k– ом шаге получим,

следующее правило для вычисления кратности корня многочлена.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Лекция 4

Векторная алгебра. Понятие вектора, координаты, модуль вектора.

Линейные операции над векторами. Базис

Цель: Изучить понятие вектора, равенства векторов, как определяются координаты вектора его модуль, линейные операции над векторами и их свойства, понятие базиса.

Определение. Направленный отрезок (упорядочивающий пару точек)

будем называть вектором и обозначать a, AB, где точку A называют

началом вектора, а B– его концом (рис.4.1).

Необходимо знать, что в печатных изданиях часто векторные величины и векторы обозначают жирным шрифтом, без стрелки

Вектор, у которого начало и конец совпадают, будем называть нулевым

вектором

В

a

А

Рис. 4.1

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной,

модулем или абсолютной величиной вектора и обозначают a , AB .

Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой эти векторы параллельны, пишут a ||b . Коллинеарные векторы могут быть

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

сонаправленными (направлены в одну сторону), и противоположно направленными. Обозначается соответственно a b, a b.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость,

которой они параллельны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору т.к. не имеет направления.

Свойство. Если вектор a коллинеарен ненулевому вектору b, то существует действительное число такое, что a b.

Определение. Два вектора a,b считаются равными, если выполнено три условия: 1) их модули равны, 2) они параллельны, 3) направлены в одну сторону.

О равенстве векторов стоит поговорить отдельно, т.к. оно существенно отличается от равенства чисел. Два равных числа могут рассматриваться как одно и тоже. С векторами все иначе.

Из курса физики известно, что сила может быть изображена вектором.

Но, силы изображаемые равными направленными отрезками производят,

вообще говоря различные действия. Так сила действующая на упругое тело изображается направленным отрезком, который не может быть никуда перенесен из данной точки. Т.е. он характеризуется направлением и точкой приложения и называется приложенным вектором.

Сила действуещая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, который может быть перенесен не в любую точку пространства, а

лишь вдоль прямой на которой он лежит.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Определение. Разность a b есть сумма a ( b) (рис.4.3).

a a b

b

Рис.4.3

Определение. Произведением вектора a на вещественное число называется любой вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

а) вектор b коллинеарен вектору a;

б) b a ;

в) векторы a и b направлены одинаково если 0, и

противоположно направлены если 0,

Свойства умножения вектора на число

1.Для любых действительных чисел , и любого вектора a верно равенство ( )a ( a).(ассоциативность)

2.Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения

чисел