Конспект лекций по алгебре

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Рассмотрим правило Крамера для системы уравнений 3 3, наложив условие линейной независимости уравнений системы.

а11x1 a12x2 a13x3 b1a21x1 a22x2 a23x3 b2

a31x1 a32x2 a33x3 b3

Кроме основного определителя системы введем в рассмотрение

дополнительные определители, получаемые заменой коэффициентов j -

го столбца столбцом свободных членов.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения

A11, A21, A31 первого столбца и сложим левые и правые части

полученных равенств:

x1(a11A11 a21A21 a31A31) x2(a12A11 a22A21 a32A31)

x3(a13A11 a23A21 a33A31) b11A11 b2A21 b3A31.

Используя следствие 2 свойства 2 определителей получаем:

Поступая аналогичным образом получим следующие формулы Крамера для определения неизвестных системы:

Теорема (формулы Крамера): Система из n уравнений с n

неизвестными

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

1.Перестановка двух любых уравнений системы;

2.Умножение любого уравнения системы на произвольное,

отличное от нуля, число; 3. Прибавление к произвольному уравнению системы любого

другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Методом Гаусса можно решать и прямоугольные системы.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Лекция 15

Обратная матрица, матричный метод решения системы. Общее решение системы.

Цель: изучить понятие обратной матрицы, ее свойства и метод вычисления. Изучить матричный метод решения СЛАУ.

Определение. Квадратная матрица Ап1п называется обратной к

матрице Ап п , если

Определение. Матрица Ап п - называется неособенной

(невырожденной или несингулярной) матрицей, если det A 0. В

противном случае Ап п - особенная (вырожденная или сингулярная).

Теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Доказательство. Рассмотрим матрицу Ап п (аij ), det A 0.

~ T

Введем в рассмотрение матрицу A Aij , называемую союзной матрицей

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

матрица A 1 существует. Вычисляем соответствующие алгебраические

дополнения

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Свойства обратной матрицы

1)det A 1 (det A) 1;

2)(A 1)T (AT ) 1;

n

называется сумма всех её диагональных элементов: SpA aii . i 1

Матричный метод решения СЛАУ.

Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля,

то ее решение определяется формулой:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю.

Решение СЛАУ размерности n m

Рассмотрим однородную СЛАУ:

Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг r основной матрицы системы меньше числа n её неизвестных.

Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю det A 0.

Если ранг матрицы однородной системы равен r, то система имеет

(n r) линейно независимых решений: X1, X2,..., Xn r, называемых

фундаментальной системой решений.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:

система решений, (частные решения однородной системы), найденная при

Решение неоднородной системы в общем случае определяется следующей теоремой:

Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:

Xoн Xoo Xчн (15.6)