Конспект лекций по алгебре

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы A 1 T .

Евклидово пространство.

Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.

Введем понятия длины и угла с помощью скалярного произведения.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения:

любым двум векторам х, у сопоставлено вещественное число обозначаемое

(x, y) и удолетворяет условиям:

1)(x, y) (y,x);

2)(x y,z) (x,z) (y,z);

3)( x, y) (x, y);

4)(x,x) 0, если х 0.

Следствием из этих аксиом являются:

1) ( x, y) (x, y) (x, y), (x, y z) (x, y) (x,z);

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

2) Последовательно применяя аксиомы 2,3 легко доказать, что для

любых векторов и чисел

В силу аксиомы 4 длина вектора вещественное неотрицательное

число.

С определением величины угла дело обстоит сложнее. Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства не превосходит единицы

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Пусть х, у- любые векторы принадлежащие E. Для любых ,

имеем

( x y, x y) 2(x,x) 2 (x, y) 2(y, y) 0.

(x y)2 x y 2 (x y,x y) x2 2(x, y) y 2

x2 2xy y2 (xy)2.

Векторы будем называть ортогональными, если (x, y) 0 для

любых х, у.

Ортонормированный базис.

Определение. Систему векторов f1,..., fm в евклидовом

o,i j

пространстве назовем ортонормированной, если ( fi, f j)

1,i j

каковы бы ни были номера i, j .

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

вытекает, что 0 при произвольном i. В самом деле умножим обе части равенства скалярно на fi. Все слагаемые, кроме i-го обратятся в 0, и мы

получим i( fi, fi) i 0.

Т.о. каждая равная нулю линейная комбинация векторов f1,..., fm

необходимо тривиальна.

Вn-мерном евклидовом пространстве существует

ортонормированная система из n векторов, и эта система является ортонормированным базисом.

Процесс ортогонализации линейно независимых элементов f1,..., fm

выглядит следующим образом:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Лекция 14.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Цель: Изучить основные понятия СЛАУ, методы определения количества решений и нахождения последних.

Систему уравнений вида

называют системой m линейных алгебраических уравнений с n

неизвестными x1,x2,...,xn. Коэффициенты aij называются

коэффициентами системы и записываются в виде матрицы:

числа, стоящие в правых частях уравнений (14.1), образуют матрицу вектор– столбец

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

называемую столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов,

называется расширенной матрицей системы и обозначается (в данной главе)

Если все свободные члены системы тождественно равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность n-чисел x10,x20,...,xn0 которая при подстановке в систему вместо x1,x2,...,xn

обращает все уравнения системы в тождества.

Прежде чем переходит к решению системы, запишем её в матричном виде. Мы уже вводили матрицу коэффициентов A и матрицу – столбец свободных членов B, введем матрицу – столбец неизвестных

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной если она имеет по крайней мере два различных решения. Приведем пример неопределенной системы.

4x1 2x2 102x1 x2 5

Данная система является совместной и неопределенной, поскольку у

нее имеется, по крайней мере, два различных решения:

Если в СЛАУ хотя бы один из свободных членов отличен от нуля: b1,b2,...,bm 0, то система называется неоднородной.

Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных: m n.

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность n-чисел

x10,x20,...,xn0 которая при подстановке в систему вместо неизвестных

x1,x2,...,xn обращает все уравнения системы в тождества.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

СЛАУ называется несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора, или число линейно независимых строк

(столбцов) матрицы. Обозначается Rg A.

Теорема. (Кронекера-Капелли) Для того чтобы СЛАУ являлась совместной (т.е. имела решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу основной матрицы

системы, т. е. RgA RgA r. Причем:

1)если r n система имеет единственное решение;

2)если r n система имеет бесконечное множество решений зависящих от n r свободных неизвестных.

Следствие. Если RgA RgA , то система несовместна (нет решений).

Решение СЛАУ размерности n n

1)Метод Крамера.

Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

a11x1 a12x2 b1a21x1 a22x2 b2

Выразим в системе переменную x2 избавившись от переменной x1.

Поделим первое уравнение на элемент a11 и умножим полученный

результат на a21.

a21x1 a12a21 x2 a21b1 , a11 a11