Конспект лекций по алгебре

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Для вычисления минора M23 вычеркиваем из основного определителя

1 2

строку с номером два и столбец с номером три: M23 .

7 8

Определение: Алгебраическим дополнением Aij элемента aij

матрицы A размерности n n называется выражение вида:

Другими словами, алгебраическое дополнение есть минор, взятый со своим знаком. Знаки алгебраического дополнения для матрицы третьего

Теорема (о разложении определителя). Каков бы ни был номер столбца j, для определителя порядка n справедлива формула:

Разложения по строке , где Aij-алгебраическое дополнение элемента

aij, Mij- минор элемента аij матрицы A.

Каков бы ни был номер строки i, для определителя порядка n

справедлива формула:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разложение по столбцу.

Методы вычисления определителя:

При n 1 определитель равен самому элементу, т.е. det A a11 a11.

a11a22 a21a12.

Правила для вычисления определителя 3-го порядка

1. Правило параллельного переноса.

а11а22а33 а12а23а31 а21а32а13 а13а22а31 а21а12а33

а11а23а32.

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

2. Правило треугольника.

а11а22a33 а12а23а31 а21а32а13 а13а22а31 а21а12а33

а11а23а32.

Вданном правиле берется произведение элементов главной диагонали со

знаком « » и произведение элементов двух параллельных ей диагоналей,

которые замыкаются треугольником до углового элемента. Из этой суммы вычитаются произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов двух параллельных ей диагоналей, которые замыкаются треугольником до угловых элементов.

Определение: Матрица A называется вырожденной или особенной,

если ее определитель равен нулю.

Свойства определителя

Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.

Свойство 1. Равноправность строк и столбцов. Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить определители в левой и правой частях равенства и убедиться в равенстве полученных при этом членов.

В связи с этим свойством в дальнейшем вместо слов «строка» или

«столбец» будем говорить просто «ряд», подразумевая их равноправность.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на противоположный

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить по правилу треугольника определители, стоящие в правой и левой частях равенства.

Следствие 1: Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых рядов абсолютное значение определителя не изменится, а, с другой стороны, в силу свойства 2

изменит знак на противоположный, т.е. , значит 2 0,

следовательно, 0.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Следствие 2. Сумма произведений элементов какого либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Действительно, все такие разложения представляют из себя определители, содержащие два одинаковых ряда:

a11A21 a12A22 a13A23

Свойство 3. Общий множитель элементов какого либо ряда можно выносить за знак определителя.

Действительно, поскольку определитель можно вычислить, раскладывая его по элементам строки (столбца), вычислим определитель, раскладывая его по элементам строки, умноженной на число , тогда каждое слагаемое будет содержать множитель , который может быть вынесен за скобку.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

2)прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца);

3)перестановка строк (столбцов).

Свойство 5. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Свойство 6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

пересечении выбранных k строк и столбцов. Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка, сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов. Если матрица A квадратная, то каждому минору k – ого порядка сопоставляется дополнительный минор, который по определению есть определитель матрицы порядка (n k ), составленный из элементов,

оставшихся после вычеркивания k строк и столбцов.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

По аналогии с линейной комбинацией введем понятие линейной независимости строк и столбцов матрицы. Пусть 0 - столбец у которого все элементы равны нулю.

Определение. Система из n столбцов q1, q2,..., qn называется

линейно независимой, если из равенства 1a1 2a2 ... nan 0

следует, 1 2 ... n 0. В противном случае, если не все i 0

(i 1, n), система столбцов линейно зависима.

Все утверждения записанные для столбцов, справедливы и для строк матрицы.

линейно независимы, т.к. их линейная комбинация

1

1е1 2е2 3е3 2

3

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

т.е. является тривиальной.

Пример: Столбцы

являются линейно зависимыми, т.к. существуют такие числа, 1 2 и

2 1, при которых линейная комбинация данных векторов обращается в

нуль:

Свойства линейно зависимых строк и столбцов:

1)Система, содержащая нулевой столбец (строку), является линейно зависимой.

2)Система из n 1 столбцов (строк) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов (строк) раскладывается в линейную комбинацию остальных столбцов (строк) системы.

3)Если система столбцов (строк) содержит линейно зависимую подсистему, то она также линейно зависима.

4)Любая подсистема линейно независимых столбцов (строк) также линейно независима.