вышмат

мого разрыва первого рода, а разность f (x0 +0)− f (x0 −0) называется скач-

ком функции f (x) в точке x0 (рис. 14).

Найти точки разрыва функции, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.

Решение. Функция f (x) определена на всей числовой оси. Но из этого

не следует, что она и непрерывна на всей числовой оси, так как эта функция неэлементарная; она задана двумя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента x и может иметь разрыв в точке x = 2, где меняется её аналитическое выражение.

Исследуя точку x = 2, находим односторонние пределы функции при стремлении аргумента к этой точке слева и справа:

Левый и правый пределы функции конечны, но не равны между собой. Поэтому x = 2 – точка неустранимого разрыва первого рода. В этой точке

Во всех остальных точках числовой оси функция f (x) непрерывна, так

как обе формулы, которыми она задана, представляют собой элементарные непрерывные функции. График этой функции приведен на рис. 15.

41

Во всех остальных точках числовой оси функция f (x) непрерывна; её график показан на рис. 16.

Рис. 16

43

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1.Производная и дифференциал

2.1.1.Определение производной, ее механический

игеометрический смысл

Связь между дифференцируемостью

инепрерывностью функции

Кпонятию производной приводит ряд задач из различных областей знания [1–4]. Рассмотрим одну из них.

Задача о скорости прямолинейного движения

Пусть материальная точка совершает прямолинейное неравномерное движение по закону s = f(t), где t – время, а s – путь, проходимый точкой за время t. Пусть t0 – фиксированный момент времени; s0=f(t0) – путь, пройденный точкой к моменту t0. Поставим задачу: определить скорость v0 материальной точки в момент t0. Пусть t – бесконечно малый промежуток времени. Рассмотрим момент времени t0 + t. За время t0 + t точка прошла путь s=s – s0 = f (t0 + t) – f (t0) (рис. 17).

Рис. 17

Таким образом, чтобы найти скорость v0 в момент времени t0, нужно найти предел (2.1) отношения приращения функции s к приращению аргумента t при t→0.

44

Понятие скорости, заимствованное из механики, успешно применяется и к исследованию поведения произвольной функции, приобретая при этом более общий характер.

Пусть на промежутке Х определена некоторая функция y=f(x). Возьмем какое-нибудь значение x0 из этого промежутка и придадим ему приращение x. Это вызовет соответствующее приращение функции y=f(x0 + x) – f(x). (см. рис. 9).

Заметим, что приращение аргумента может быть выбрано произвольно как по знаку, так и по величине, однако с таким расчетом, чтобы значение x0+ x не выходило за границы промежутка Х. В противном случае f (x0 + x) теряет смысл, так как вне Х функция не определена.

Приращение y есть величина, на которую изменилось значение функции y=f(x) при изменении значения аргумента от x0 до x0 + x.

Определение 2. Скоростью изменения функции y=f(x) при фиксиро-

ванном значении x= x0 независимого переменного называют предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлении к нулю x:

Если такого предела не существует, то говорят, что данная функция в точке x0 производной не имеет.

Таким образом, производная при данном значении x=x0 – если существует – есть определенное число. Если же производная существует во всем промежутке Х, то есть при каждом значении x X, то она является функцией от х. Эта функция называется производной функцией от данной функции

45

f(x), или просто производной от этой функции. Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой, а действие нахождения производных называется дифференцированием.

Производная обозначается одним из символов: f′ (x), y′, y′x, dy/dx, а ее значение при x = x0 обозначается f ′(x0 ),y′(x0 ),y′x (x0 ),y0′ ,dydx x=x0 .

В случае, когда передел (2.2) равен бесконечности определенного знака говорят, что существует бесконечная производная.

Замечание 1. Из определения производной функции вытекает и способ ее вычисления. Чтобы вычислить производную функции y = f(x) в некоторой

46

lim f (x) = lim x = 0;

x→+0 x→+0

lim f (x) = lim (−x) = 0,

x→−0 x→−0

так что lim f (x) существует и равен нулю. Но и f(0)=0. Таким образом, функ-

x→+0

ция f(x) непрерывна в точке х = 0 (как, впрочем, и во всякой другой точке).

2)Покажем, что функция f(x)= | x | не имеет производной в точке х = 0.

Всамом деле,

ществует производной в точке x = 0. С геометрической точки зрения это означает, что график функции y = f(x) не имеет в точке x0 = 0 касательной

(см. рис. 18).

Механический смысл производной

Возвращаясь к задаче, рассмотренной в начале п. 2.1.1, получим

то есть скорость v прямолинейного неравномерного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t.

В этом и заключается механический смысл производной.

Геометрический смысл производной

Пусть функция f(x) имеет при x=x0 производную f ′(x0). Покажем, что кривая y=f(x) имеет в точке М(x0, f(x0)) касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен значению производной f '(x0). С этой целью дадим значению аргумента x0 приращение х и обозначим через N точку (x0+ х, f (x0+ х)) (см. рис. 19). Секущая MN образует с положительным направлением оси ОХ некоторый угол β. Как видно из чертежа,

48

Рис. 19

Если х→0, то

1)точка N будет неограниченно приближаться к точке М, двигаясь вдоль по кривой y = f(x);

2)секущая MN будет поворачиваться вокруг точки М;

3)соответственно будет изменяться и угол β.

Так как по условию производная f ′(x0) существует, то, пользуясь непрерывностью функции arctg x, можем записать

предельное значение угла β, которое мы обозначим через α. А это значит, что существует предельное положение MP секущей MN, то есть прямая MP является касательной к кривой y = f(x) в точке М и arctg f ′(x0)=α или f ′(x0)= tg α.

Таким образом, производная функции f(x) в данной точке х0 геомет-

рически представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой y = f(x) в точке (х0, f(х0)), то есть тангенс угла между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Если в некоторой точке производная обращается в бесконечность, то это значит, что касательная к кривой в этой точке параллельна оси ординат. Если же производная в точке равна нулю, то касательная к кривой в этой точке параллельна оси абсцисс (см. рис. 20).

49