вышмат

I. Рассмотрим интеграл: ∫R(x, xm/n ,..., xr/s )dx , где R – рациональная функция своих аргументов.

Пусть k – общий знаменатель дробей mn ,..., rs . Сделаем подстановку:

x = t k , dx = ktk −1dt .

Тогда каждая дробная степень x выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t .

Пример 2. Вычислить интеграл ∫ xx+ 4dx .

Решение. Делаем подстановку x + 4 = t 2 , x = t 2 −4 , dx = 2tdt ; тогда

∫xx+ 4dx = 2∫ t 2t −2 4dt = 2∫ 1+ t 2 4−4 dt =

стоянные, показатели m, n, p – рациональные числа. Подынтегральное выра-

жение xm (a +bxn )p dx называется биномиальным дифференциалом. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трёх случаях:

1) когда p – целое число;

121

2)когда mn+1 – целое число;

3)когда mn+1 + p – целое число.

Если ни одно из этих условий не выполняется, то интеграл не берется в конечном виде.

В первом случае, когда p – целое положительное, интегрирование вы-

полняется непосредственно. Для этого достаточно разложить бином в сумму по формуле Ньютона.

Если p – целое отрицательное, то рационализация достигается с помощью подстановки x = tμ, где μ – общий знаменатель дробей m и n .

Во втором случае, когда mn+1 – целое число, рационализация интегра-

ла осуществляется с помощью подстановки a +bxn = ts , где s – знаменатель дроби p = rs .

В третьем случае, когда mn+1 + p – целое число, подынтегральное вы-

ражение преобразуется к рациональному виду с помощью подстановки a +bxn = ts xn , где s – по-прежнему знаменатель дроби p = rs . Более подроб-

ное изложение вопроса интегрирования биномиального дифференциала смотри в [1–3].

IV. Рассмотрим интегралы вида ∫R(x, ax2 + bx + c )dx , где a ≠ 0 и R –

рациональная функция от x и от ax2 +bx + c . Этот интеграл представляет интерес в том случае, когда квадратный трехчлен не имеет равных корней, в противном случае мы придём к рациональной функции, которую уже умеем интегрировать.

Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера [1]:

122

ax2 + bx + c имеет (различные) вещественные корни α и β, то (считая x > α)

рассмотренному выше интегралу I типа, который рационализируется с по-

третью подстановку Эйлера. Более подробно изложение вопроса об использовании подстановок Эйлера при интегрировании смотри в [2–4].

3.1.8.Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

В п. 3.1.8 мы рассмотрим некоторые классы тригонометрических функций, интегрируемых в конечном виде, для которых выработаны удобные на практике приёмы интегрирования.

Рассмотрим интеграл вида

123

Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (3.19), получим интеграл от рациональной функции:

Решение. На основании написанных выше формул имеем

2dt

1+t2

Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида R(cos x,sin x) . Поэтому её иногда называют «универ-

сальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с "универсальной подстановкой" бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1. Если интеграл имеет вид ∫R(sin x)cos xdx , то подстановка sin x = t, cos xdx = dt приводит этот интеграл к виду ∫R(t)dt .

124

2. Если интеграл имеет вид ∫R(cos x)sin xdx , то он приводится к инте-

гралу от рациональной функции заменой cos x = t, sin xdx = −dt .

3. Если подынтегральная функция зависит только от tgx , то замена

4. Если подынтегральная функция имеет вид R(sin x,cos x) , но sin x и cos x входят только в чётных степенях, то применяется та же подстановка tgx = t, так как sin 2 x и cos2 x выражаются рационально через tgx :

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции. 5. Рассмотрим теперь ещё один интеграл вида ∫R(sin x,cos x)dx – имен-

но интеграл, под знаком которого стоит произведение sin m x cos n xdx (где m и n – целые числа). Здесь рассмотрим три случая.

5а. ∫sin m x cos n xdx, где m и n таковы, что, по крайней мере одно

из них нечётное число. Допустим для определённости, что n нечётное. Положим n = 2 p +1 и преобразуем интеграл

∫sinm x cos2 p+1 xdx = ∫sinm x cos2 p x cos xdx = ∫sinm x(1−sin2 x) p cos xdx.

125

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие cos 2x в нечётных и чётных степенях. Члены с нечётными степенями интегрируются, как указано в случае 5а. Чётные показатели степеней снова понижаем по формулам (3.20). Продолжая так, дойдём до членов вида ∫cos kxdx ,

которые легко интегрируются.

Пример 3. Вычислить интеграл ∫sin 4 xdx .

5в. Если оба показателя – чётные, причём, хотя бы один из них отрицателен, то предыдущий прием не приводит к цели. Здесь следует сделать за-

126

sin mxsin nx = 12 [− cos(m + n)x + cos(m − n)x].

Подставляя и интегрируя, получим

3.2.Определенный интеграл

3.2.1.Определение определенного интеграла.

Условия существования определенного интеграла

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и так далее сводится к вычислению определенного интеграла. Из многих физических, геометрических и других задач, приводящих к понятию определенного интеграла, мы остановимся на двух.

Задача 1. (О пройденном пути). В качестве первой задачи рассмотрим задачу из механики.

Определить путь S0, пройденный материальной точкой за промежуток времени от момента t0 до момента Т, если известна скорость движения точки как функция времени t, то есть задано v=f(t).

Решение. Для решения этой задачи разобьем рассматриваемый промежуток времени [t0, T] на n произвольных частей точками

t0 < t1 < t2 < … < ti < ti+1 <…< tn-1 < tn = T (рис. 36).

В результате промежуток [t0, T] разобьется на частичные промежутки вида [ti, ti+1], где i=0, 1, 2, …, n – 1. Величину i-го промежутка времени обозначим ti = ti+1 – ti.

Рис. 36

127

Затем в каждом из них выберем произвольно момент времени τi, ti≤τi≤ ti+1 и вычислим скорость в это момент, то есть найдем vi=f(τi). Если дробление промежутка [t0, T] достаточно мелко, то приближенно мы можем считать, что в течение каждого частичного промежутка времени движение происходит равномерно, то есть с постоянной скоростью.

Для определенности будем считать, что в течение всего i-го промежутка времени точка движется с постоянной скоростью, равной vi=f(τi). Тогда путь, пройденный точкой за i-й промежуток времени, очевидно, будет приближенно равен vi ti и, следовательно, путь, пройденный за все время от t0 до Т, приближенно будет равен сумме этих величин, то есть

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче дробление промежутка [t0, T], то есть чем меньше частичные промежутки [ti, ti+1], и в пределе, когда величина наибольшего частичного промежутка времени (ко-

торую мы обозначим через λ= max ti ) будет стремиться к нулю, получим

i

точное равенство

n−1

S0 = lim ∑ f (τi ) ti.

λ→0 i=0

Таким образом, решение задачи свелось к вычислению предела суммы вида (3.21). Мы видим, что эта сумма представляет собою некоторую переменную величину, имеющую весьма специальный вид. Определение предела такой переменной при λ→0 будет дано ниже.

Задача 2. Пусть надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x)≥0, x [a, b], c боков – ординатами x=a, x=b, а снизу – отрезком [a, b] (рис. 37). Эту фигуру будем называть криволинейной трапецией.

Решение.

Рис. 37

128

Разобьем промежуток [a, b] на части точками

a=x0 < x1 < … < xi < xi+1 <…< xn =b

и обозначим через xi = xi+1 – xi длину промежутка [xi, xi+1]. На каждом xi построим прямоугольник высотой f(ξi), где ξi – произвольная точка промежутка

i=0

За истинную площадь криволинейной трапеции примем

n−1

S = lim ∑ f (ξi ) xi .

xi →0 i=0

Таким образом, мы видим, что такие понятия как путь и площадь определяются как пределы своеобразных сумм вида (3.21) и (3.22).

Перейдем к точным математическим определениям.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в промежутке [a, b]. Разобьем этот промежуток на n произвольных частей точками

a=x0 < x1 < x2 < … < xi < xi+1 <…< xn =b.

Будем обозначать через λ наибольшую из длин частичных промежут-

ков xi = xi+1 – xi (i = 0, 1, …, n – 1). Выберем в каждом из частичных промежутков [xi, xi+1] произвольную точку x= ξi (xi ≤ ξi ≤ xi+1) и составим сумму:

i=0

которую будем называть интегральной суммой или суммой Римана для функции f(x) на промежутке [a, b].

Говорят, что сумма σ при λ→0 имеет конечный предел J, если, каково бы ни было ε>0, найдется такое число δ>0, что как только λ<δ неравенство |J – σ|<ε выполняется при любом выборе чисел ξi. Если существует конечный предел интегральной суммы (3.23) при λ→0, не зависящий ни от способа дробления промежутка [a, b] на части, ни от выбора точек ξi, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается символом

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой в промежутке [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним предела-

129

ми интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования. Отрезок [a, b] называется отрезком интегрирования.

При постоянных пределах a и b определенный интеграл (3.24) представляет собой постоянное число.

Замечание 1. Возвращаясь к задачам, рассмотренным в начале п. 3.2.1, мы можем полученные там формулы для пройденного пути S0 и площади S криволинейной трапеции записать в следующем виде:

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости).

Если функция f(x) непрерывна в промежутке [a, b], то она интегрируе-

b

ма в этом промежутке, то есть интеграл ∫ f (x)dx существует.

a

Замечание 2. Непрерывность функции является достаточным, но не необходимым условием ее интегрируемости. Можно доказать, что существуют и другие классы интегрируемых на данном сегменте [a, b] функций, например, класс функций, ограниченных и имеющих на рассматриваемом сегменте конечное число точек разрыва (I рода, устранимые), класс ограниченных и монотонных на [a, b] функций.

3.2.2.Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Расширение понятия определенного интеграла

Если построить график подынтегральной функции y = f(x), то в случае

b

f(x)≥0 ∫ f (x)dx будет численно равен площади так называемой криволиней-

a

ной трапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми x=a, x=b и осью

OX (рис. 38).

Рис. 38

130