Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

4.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Решение. а) Имеем неопределенность вида

. Для вычисления предела

применим дважды правило Лопиталя:

a 2

lim

1−cos ax

= lim

a sin ax

= lim

cos ax

1−cos bx

b sin bx

cos bx

x→0

б) Имеем неопределенность вида ∞ . Применяя 2 раза правило Лопита-

ля, получим

∞

ln 2

2 ln x

lim

= 0 .

lim

= lim

lim

3x3

x→∞ x3

x→∞

3x 2

x→∞

3 x→∞ 3x 2

9 x→∞ x3

в) Имеем неопределенность вида

∞

. Применим правило Лопиталя:

∞

tg3x

3 cos 2 5x

cos 2 5x

lim

= lim

cos 2 3x

= lim

lim

x→π tg5x

x→π

x→

π 5 cos 2 3x

5 x→

π cos 2 3x

cos 2 5x

Для раскрытия неопределенности вида

еще раз применим правило

Лопиталя, предварительно преобразовав дробь

cos

cos 5x

−5sin 5x

lim

5 x→

cos

5 x→

cos 3x

5 x→

−3sin 3x

sin 5x

limπ

9 x→

sin 3x

−1

Замечание 3. Применяя правило Лопиталя, надо дифференцировать не дробь, а отдельно ее числитель и знаменатель.

Замечание 4. На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов.

	Раскрытие неопределенности вида 0 ∞
Пусть lim f (x)= 0 , а lim g(x)= ∞ (запись x → a может означать здесь
x→a	x→a
также и x → ∞	(+ ∞,−∞)). Рассмотрим вопрос о вычислении предела вида:
lim[f (x) g(x)] (неопределенность вида 0 ∞).
x→a
Если искомое выражение переписать в виде
	lim[f (x) g(x)]= lim		f (x)
	lim[f (x) g(x)]= lim		1/ g(x)
	x→a	x→a	1/ g(x)

или в виде

g(x)

lim[f (x) g(x)]= lim

1/ f (x)

x→a

то вопрос может быть сведен к раскрытию неопределенности либо вида

∞ .

либо вида

∞

(n > 0).

Пример 3. Найти предел функции lim x n ln x

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида 0 ∞. Преобразуем к неопре-

деленности вида ∞ , после чего применим правило Лопиталя:

∞

lim x n ln x = lim

ln x

= lim

= −

lim x n = 0 , так как n > 0 .

−nx −n−1

x→0

x→0 x −n

x→0

n x→0

Раскрытие неопределенности вида ∞ - ∞

Пусть lim f (x)= +∞ и

lim g(x)= +∞. Ставится вопрос об отыскании

x→a

предела вида lim[f (x)− g(x)]

(неопределенность вида ∞ – ∞).

x→a

Для

определения

этого

предела

можно

преобразовать разность

f (x)− g(x) к такому виду:

f (x)− g(x)=

−

g(x)

f (x)

тогда

f (x)g(x)

−

lim[f (x)− g(x)]= lim

g(x)

f (x)

x→a

f (x)g(x)

Получим неопределенность вида 00 , которую раскроем по правилу Лопиталя.

Неопределенность вида ∞ – ∞ можно раскрыть и другим способом, преобразовав разность f (x)− g(x) к виду:

g(x)

f (x)− g(x)=

f (x) 1

−

g(x)

f (x)

g(x)

затем найти lim

(неопределенность

вида

∞

). Если

lim

≠1, то

f (x)

x→a

g(x)

∞

x→a

lim[f (x)− g(x)]= ∞. Если же lim

=1, то получим неопределенность 0∞.

f (x)

x→a

Пример 4.		1		1
	Найти lim		−		.

	x→1 ln x			x −1

Решение. Имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Преобразуем выражение, стоящее в скобках

−

x −1 − ln x

ln x

x −1

(x −1)ln x

– получаем уже неопределенность вида

Применяя правило Лопиталя дважды, находим

x −1

x −1−ln x

1−

= lim

lim

−

= lim

(x −1)ln x

x −1

x ln x + x −1

x→1 ln x

x −1

x→1

ln x

x→1

x −1

= lim

x ln x + x −1

0 +1+1

x→1

ln x + x

Пример 5. Найти lim (x −ln 3

x).

x→∞

Решение. Имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Применим второй прием:

lim (x −ln

ln 3 x

= lim x 1−

x→∞

→∞

ln 3 x

3 ln 2 x

ln 2 x

2 ln x

Так как

lim

= lim

= 3 lim

x→∞

= 0 , то есть ≠1, то lim (x −ln

ln 3

= ∞.

= 6 lim

x)= lim x 1

−

x→∞ x

x→∞

Раскрытие неопределенностей вида 00 , ∞0 , 1∞ .

Пусть надо найти предел вида lim[f (x)]g (x)

(где

f (x)> 0

x→a

= 6 lim ln x =

x→∞ x

в некоторой

окрестности точки a ) в одном из следующих трех случаев:
а) lim f (x)= 0 , lim g(x)= 0 (неопределенность вида 00 );
x→a	x→a
б) lim f (x)= ∞, lim g(x)= 0 (неопределенность вида ∞0 );
x→a	x→a
в) lim f (x)=1, lim g(x)= ∞ (неопределенность вида 1∞ ).
x→a	x→a

Неопределенности этих видов сводятся к неопределенности вида 0∞, которая была рассмотрена выше. Это достигается с помощью тождества

[f (x)]g (x) = e g (x)ln f (x).

(2.29)

Теперь можно написать, что

	lim g (x)ln f (x)	.	(2.30)
lim[f (x)]g (x) = lim e g (x)ln f (x) = e x→a		.	(2.30)
x→a	x→a
и дело сводится к определению предела lim g(x)ln f (x).
	x→a

Пример 6. Найти lim x x .

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида 00 . На основании (2.29) можем записать, что xx = ex ln x , а потому на основании (2.30):

lim x x = lim ex ln x

lim x ln x

(2.31)

= ex→0

x→0

Найдем теперь lim x ln x (здесь имеем неопределенность вида 0∞):

x→0

ln x

lim x ln x = lim

= lim

= lim(− x)= 0 .

x→0

x→0 −

x→0

x 2

Неопределенность

вида ∞∞ . Применяем

правило Лопиталя.

Подставляя этот результат в (2.31), получим, что lim x x

= e0

=1.

x→0

Пример 7. Найти lim(e x + x)

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ . На основании (2.29) мо-

ln(e

+x), а потому

жем записать что (e x + x)

= e

ln(ex

+x)

lim

ln(ex

+x)

(2.32)

lim(e x + x)x = lim e x

= e x→0 x

x→0

Найдем теперь lim

ln(e x

+ x):

x→0

ln(e x

+ x)= lim

e x +1

lim

ln(e x + x)= lim

= 2 .

x→0

x→0 e x + x

Неопределенность

вида 0∞

вида

. Применяем

правило Лопиталя.

Подставляя найденное значение в (2.32), получим, что lim(e x

+ x)

= e2 .

x→0

2.2.3.Формула Тейлора.

Приложение к приближенным вычислениям

Если функция f (x) непрерывна и имеет на отрезке [a,b] непрерывные

производные до (n)-го порядка включительно, а в каждой внутренней точке отрезка имеет конечную производную (n + 1)-го порядка, то при x [a, b] справедлива формула Тейлора:

	′	(x − a)	+ f	′′	(x − a)2	+	′′′	(x − a)3	+...
f (x)= f (a)+ f (a)		1!	+ f	(a)	2!	+	f (a)	3!	+...
... + f (n)(a)	(x − a)n	+ Rn (x),
... + f (n)(a)	n!	+ Rn (x),
где Rn (x) называется остаточным членом формулы Тейлора.									Существуют

различные формы остаточного члена.

Чаще всего пользуются остаточным членом в форме Лагранжа:

(n+1)( )

Rn (x)=

(x −a)n+1 , где точка

лежит между точками а и х, то есть

(n +1)!

ξ = a + θ(x − a), причем 0 < θ<1.

Еслиположитьвэтойформуле a = 0 , тополучимформулуМаклорена

x 2

x n

+ Rn (x),

f (x)=

′

′′

+ f

′′′

+... + f (0)

f (0)+ f (0)x +

f (0)

(0)

x n+1

где Rn (x)=

f (n+1)(θx)

(остаточный член в форме Лагранжа).

(n +1)!

Формула Маклорена дает разложение функции по степеням самой независимой переменной.

Приведем разложения некоторых функций по формуле Маклорена:

ex =1+

+... +

+ R (x)

eθx

где

Rn (x)=

x n+1 ;

(n +1)!

(−1)m+1 x2m−1

sin x =

−

−... +

+ R

(x),

(2m −1)!

где R2m (x)= (−1)m cos θx

x 2m+1

;

(2m +1)!

(−1)m x2m

cos x =1−

−

+... +

+ R

(x),

(2m)!

2m+1

где

R2m+1 (x)= (−1)m+1 cos θx

x 2m+2

;

(2m + 2)!

(1+ x)m =1+

x +

m(m −1)

x 2 +

m(m −1)(m − 2)

+...

... +

m(m −1)...[m −(n −1)]

x n + Rn (x),

где Rn (x)=

m(m −1)...(m −n)

x n+1

(1+θx)m−n−1

(всюду 0 < θ<1).

(n +1)!

Так как среди всех функций многочлены являются особенно простыми, то приближенное представление функций многочленами занимает важное

место в математическом анализе и его приложениях.

Формула Тейлора по-

зволяет приближенно представить функцию

y = f (x)

при определенных ус-

ловиях в виде многочлена:

f ′(a)

f (n)(a)

f (x)≈ f (a)+

(x −a)+... +

(x −a)n0

где n0

Rn (x)

– минимальный из номеров n , для которых

< ε , где ε – задан-

ная точность.

Пример 1. Представить функцию f (x)= 3 x

в виде многочлена пятой

степени относительно двучлена x −1.

Решение. Вычислим значения функции f (x)= x 13 и ее производных

′

−23

до пятого

порядка

включительно

при a

=1:

f (1)=1,

3)x ,

(x)= (

′

′′

−53

′′

′′′

−8

′′′

9 )x

(

27)x

, f

f (1)=

3 ; f (x)= −(

, f (1)= − 9 ; f

(x)=

(1)= 27 ;

f IV (x)= −(8081)x−113 ,

f IV (1)= −8081;

f V (x)= (880 243)x−143 ,

f V (1)= 880 243 .

Следовательно, по формуле Тейлора получим

3 x =1+ 13 (x −1)−

(x −1)2 +

(x −1)3 −

9 2!

27 3!

(x −1)4 +

880

(x −1)5 + R (x)

−

81 4!

243 5!

(x)=

f VI (ξ)

(x −1)6 = − 12320 ξ−

(x −1)6 , 1 < ξ< x .

где R

729 6!

Формула Тейлора широко используется при вычислении значений

функции с заданной степенью точности [5–6].

Пример2. Вычислитьсточностьюдо ε=10−3 приближенноезначение 3 29 .

Решение. Представимзаданныйкореньтак: 3 29 = 3 27 + 2 = 3(1 + 2 27)1/ 3 .

Воспользуемся биномиальным разложением

(1+ x)m =1+

x +

m(m −1)

x2 +... +

m(m −1)...[m −(n −1)]

xn + R

(x).

Отсюда получаем приближенное равенство:					m(m −1)...(m − n +1)
(1+ x)m ≈1+	m	x +	m(m −1)	x2 +... +		xn ,
	1!		2!		n!

погрешность которого

Rn (x)= m(m −(1)+...()m −n)x n+ (1+θx)m−n−1

n 1 !

может быть сделана как угодно малой при x <1 и при достаточно большом n . Полагая x = 227 и m =13 , получим

3				2		2	2		2	2 2 5		2	5	5
	29		+		−			+			−
		= 3 1		81		81	81			3				4	+... + Rn (x) .
										81		81

Оценивая величины последовательных ошибок									вычисления 3		Rn	, находим
3	R	<	3 2 2	< 0,002 , 3	R	2	<	3 2	2 2 5	< 0,0003 .


	1		812						813

Следовательно, для вычисления с заданной точностью ε=10−3 достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку R2 , то есть

329 ≈ 3(1+0,024 −0,0006)= 3,072 .

2.2.4.Исследование функций и построение графиков

Аппарат дифференциального исчисления представляет возможность для создания более совершенных методов исследования функций. С помощью производных первого и второго порядка можно достаточно быстро и полно выяснить все наиболее характерные особенности в поведении той или иной функции. Из самых различных областей науки и техники возникает большое количество практических задач, решение которых связано с исследованием функций и, в частности, с нахождением наибольших и наименьших значений.

Условия постоянства, возрастания и убывания функций Определение 1. Функция f (x), заданная на некотором промежутке, на-

зывается возрастающей (или строго возрастающей) на этом промежутке,

если для любой пары точек промежутка x1 и x2 , удовлетворяющих неравен-
ству x1 < x2 , выполняется соотношение f (x1 )< f (x2 ). Если при условии
x1 < x2 выполняется соотношение	f (x1 )≤ f (x2 ), то f (x) называется неубы-
вающей.	f (x)называется убывающей (или строго
Определение 2. Функция

убывающей) на некотором промежутке, если для любых двух значений x1 и x2 аргумента x , взятых из этого промежутка, неравенство x1 < x2 влечет за

собой неравенство f (x1 )> f (x2 ). Если же из неравенства x1 < x2							следует не-
равенство f (x1 )≥ f (x2 ),	то функция называется невозрастающей на этом
промежутке.
Функции возрастающие и убывающие, а также функции неубывающие
и невозрастающие называются монотонными.									f (x),
Теорема 1. Пусть на [a,b]		определена непрерывная функция							f (x),
имеющая на (a,b) конечную производную. Тогда:
1. Для того, чтобы	f (x) была неубывающей (невозрастающей) на [a,b],
				′				′
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f (x)≥ 0							(f (x)≤ 0)
для всех x из (a,b).	f (x) была строго возрастающей (строго убываю-
2. Для того, чтобы	f (x) была строго возрастающей (строго убываю-
щей) на [a,b], достаточно, выполнения условия				′	(f	′
щей) на [a,b], достаточно, выполнения условия			f (x)> 0		(f		(x)< 0) для
всех x из (a,b).	f (x) была постоянной на [a,b], необходимо и дос-
3. Для того, чтобы	f (x) была постоянной на [a,b], необходимо и дос-
′	для всех x из (a,b).
таточно, чтобы f (x)= 0	для всех x из (a,b).
	′	′
Замечание 1. Условие f (x)> 0 (f (x)< 0) не является необходимым
для строгого возрастания (убывания) функции. Например,					функция				y = x3
строго возрастает на (−∞,+∞), так как при x < x			2	имеем:	x 3	< x		3 .	Но ее
		1	2		1			2

производная y′ = 3x2 равна нулю при x = 0 . Таким образом, строго монотон-

ная дифференцируемая функция в отдельных точках может иметь производную, равную нулю (рис. 25).

Рис. 25

Замечание 2. Если вспомнить, что значение производной f ′(x) в данной точке x0 есть угловой коэффициент касательной к кривой y = f (x) в точке (x0 , f (x0 )), то рассмотренные условия постоянства и монотонности функции становятся еще более наглядными. Если на отрезке [a,b] функция

f (x) возрастает, то касательная к кривой y = f (x) в каждой точке на этом отрезке образует с осью OX острый угол ϕ или в отдельных точках – горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен: f ′(x)= tgϕ≥ 0 (рис. 25, а). Если функция f (x) убывает на отрезке [a,b], то угол наклона касательной – тупой

(или – в отдельных точках – касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 25, б).

Теорема 1 позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x4 . Решение. Областью определения данной функции является вся ось OX . Находим производную функции y′ = 4x3 . Из неравенств 4x3 > 0 и

4x3 < 0 получаем, что данная функция строго возрастает на (0,+∞) и строго

убывает на (− ∞,0). Производная функция 4x3 обращается в нуль при x = 0 . В точке x = 0 функция переходит от убывания к возрастанию (рис. 26).

Рис. 26

Максимумы и минимумы функций

Пусть функция f (x) определена в некотором промежутке и x0 – внутренняя точка этого промежутка.

Определение 3. Точка x0 называется точкой максимума (минимума)

функции f (x), если существует такая окрестность (x0 − δ, x0 + δ) данной точ-

ки, что для всякого x из этой окрестности выполняется соотношение
Если f (x)< f (x0 )	f (x)≤ f (x0 )	(f (x)≥ f (x0 )).
	x (x0 − δ, x0 + δ), (x ≠ x0 ), то x0 называется точкой

строгого максимума; в противном случае этот максимум называется не-

строгим. Аналогично определяются точки строгого и нестрогого минимума.
Само значение f (x0 )	также принято называть максимумом (миниму-
мом) функции и обозначать:	fmax (x0 ), fmin (x0 ), или просто fmax и fmin .

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Необходимое условие существования экстремума

Теорема 2. Если дифференцируемая функция y = f (x) имеет в точке x = x0 максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой

точке, то есть f ′(x0 )= 0 .

Геометрическое истолкование этой теоремы очевидно: касательная к кривой y = f (x) в точке, которая соответствует экстремальному значению

функции, параллельна оси OX (или совпадает с ней) (рис. 27).

Рис. 27

Замечание 3. Функция может иметь экстремум и в таких точках, в которых производная обращается в бесконечность или вовсе не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими точками, или точками, подозрительными на экстремум. Те критические точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.

Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек!

Замечание 4. Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Так, например, функция f (x)= x3 имеет производную f ′(x)= 3x2 , которая при x0 = 0 равна нулю, но в этой критической точке, как легко видеть,

экстремума нет (см. рис. 28).

Следовательно, указанное условие является необходимым, но не является достаточным для существования экстремума.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.03.20161.42 Mб39ВРД 39-1[1].10-006-2000 _2002_.pdf
#
01.05.2015270.06 Кб7время в политике.pdf
#
01.05.2015242.75 Кб148Выполнение и оформление ВКР и КР.pdf
#
10.03.2016318.53 Кб36Выполнение и оформление выпускных квалификационных и курсовых работ_МУ_Лихачева В.В. и др..pdf
#
01.05.2015181.58 Кб10выч.методы лин. алгебры.pdf
#
01.05.20154.9 Mб25вышмат.pdf
#
10.03.2016320.51 Кб137Гаврилов-Шишкинна (Оформление курсовых и дипломов).doc
#
01.05.201531.42 Кб60Ганс Гросс.docx
#
10.03.201645.13 Mб27География почв с основами почвоведения (Геннадиев А.Н., Глазовская М.А., 2005).pdf
#
10.03.2016158.21 Кб12геология.doc
#
10.03.201655.86 Кб12Гесиод . О происхождении богов (Теогония).doc