Поэтому, если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью OX, то эта площадь S вычисляется с помощью интеграла
b |
|
S = ∫ f ( x)dx . |
(3.25) |
a
Расширение понятия определенного интеграла
Вводя понятие определенного интеграла данной функции f(x) на сегменте [a, b], мы, тем самым, предполагали, что нижний предел a интегрирования меньше верхнего предела b. Распространим теперь понятие интеграла на тот случай, когда a ≥ b.
Примем по определению а) Если a > b, то
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
a |
b |
a |
|
(в предположении, что ∫ f (x)dx |
существует), то есть принимается, что при |
b |
|
перестановке между собой верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл умножается на -1.
a
б) ∫ f (x)dx = 0 , то есть считается, что определенный интеграл с одина-
a
ковыми пределами интегрирования равен нулю.
3.2.3. Основные свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, если А=const, то
b |
b |
∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx . |
a |
a |
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
b |
b |
b |
b |
∫ |
[f1(x) ± f2 (x) ±L± fn (x)]dx = ∫ f1(x)dx ± ∫ f2 (x)dx ±L± ∫ fn (x)dx . |
a |
a |
a |
a |
3. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство
b c b
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,
a a c
если только все эти три интеграла существуют.
4. Если функции f(x) и g(x) заданы в промежутке [a, b], где a < b и всегда f(x)≤g(x), то
∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx ,
то есть неравенства можно почленно интегрировать.
5. Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в промежутке [a, b], где a < b, то
b
m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .
a
6. Теорема (о среднем). Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то в этом промежутке существует хотя бы одна точка ξ такая, что
b
∫ f (x)dx = f (ξ)(b − a) .
a
3.2.4. Определенный интеграл как функция верхнего предела
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования. Величина такого интеграла для данной подынтегральной функции зависит только от пределов интегрирования a и b. Следовательно, если мы будем изменять, например, верхний предел b, то величина интеграла будет, вообще говоря, меняться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Таким образом, если мы имеем интеграл
a
с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x, то величина этого интеграла будет функцией верхнего предела x. Обозначим эту функцию через Ф(х), то есть положим
x
Φ(x) = ∫ f (t)dt .
a
Здесь переменную интегрирования мы обозначили буквой t с тем, чтобы не смешивать ее с верхним пределом x (это всегда возможно сделать, если учесть, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования).
Если f (t) – неотрицательная функция, то величина Ф(x) численно равна площади криволинейной трапеции aAXx (см. рис. 39) с основанием [a, x]. Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от изменения x .
Найдем производную от Ф(x) по x , то есть найдем производную определенного интеграла (3.26) по верхнему пределу.
Рис. 39
Теорема 1. Если f (t) – непрерывная функция и Ф(x)= ∫x f (t)dt , то име-
a
ет место равенство Ф′(x)= f (x). Иными словами, производная от определен-
ного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).
Замечание 1. Из доказанной теоремы следует, что если функция f (x)
непрерывна, то она имеет первообразную, которая равна определенному интегралу
∫x f (t)dt .
a
Итак, мы установили, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.
3.2.5.Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило связано с большими трудностями. Поэтому, естественно, возникает задача: найти другой практически более удобный и легкий метод вычисления определенных интегралов. Такой метод существует, и он основан на тесной связи, существующей между понятиями неопределенного (первообразной) и определенного интегралов.
Теорема. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f (x), то справедлива формула
b∫ f (x)dx =F (b)− F (a). |
(3.27) |
a |
|
Это и есть основная формула интегрального исчисления, которую также на-
зывают формулой Ньютона-Лейбница.
133
Заметим, что правую часть этой формулы часто обозначают символом
F(x) |
b |
(знак двойной подстановки от a до b ), и тогда формула (3.27) при |
|
a |
|
|
|
|
|
этом обозначении принимает вид: |
|
|
|
∫b |
f (x)dx = F (x) |
|
b |
= F (b)− F (a). |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
Заметим, что здесь в качестве F |
|
(x) может быть выбрана любая перво- |
образная для f (x) из семейства F(x)+C , и от этого разность F(b)− F(a) не |
изменится (ведь все первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину, которая при вычитании все равно уничтожается).
Итак, формула Ньютона – Лейбница, с одной стороны, устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами, с другой стороны, она дает простое, эффективное средство для вычисления определенного интеграла, которое можно сформулировать в виде следующего правила.
Правило. Значение определенного интеграла от непрерывной функции равно разности значений любой первообразной для неё при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Приведём несколько примеров на применение формулы Ньютона – Лейбница:
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin xdx = −cos x |
|
|
= − cos |
2 |
−cos 0 =1; |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
(1 − 2)= |
2 |
|
|
|
|
|
|
2. ∫ |
= − |
4 −3x = − |
; |
|
|
|
|
|
4 −3x |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
xdx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
= |
|
|
arcsin |
|
|
|
= |
|
|
|
|
arcsin1 |
− arcsin |
|
|
= |
|
; |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
6 |
|
1 |
4 − x4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
(e2 − e0 )= |
|
1 |
(e2 |
−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ∫e2xdx = |
e2 x |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, формула Ньютона-Лейбница даёт практически удобный способ вычисления определенных интегралов: она позволяет трудоёмкую задачу о вычислении предела интегральной суммы свести к более легкой в ряде случаев задаче отыскания первообразной для подынтегральной функции. Эта формула, по существу, устанавливает тесную связь между двумя фундаментальными разделами математического анализа – дифференциальным исчислением (куда и относится понятие первообразной) и интегральным исчислением. Эта связь впервые была установлена Ньютоном и Лейбницем. Именно поэтому формулу (3.27) связывают с именем Ньютона и Лейбница.
Только с открытием формулы (3.27) определенный интеграл смог получить то значение в математике и её приложениях, какое он имеет в настоящее время. Эта формула значительно расширила область применения определенного интеграла: благодаря этой формуле стало возможным решение многих задач геометрии, механики, физики и техники единым методом.
3.2.6. Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить интеграл |
|
|
∫b |
f (x)dx , |
|
где – f (x) |
a |
|
x = ϕ(t), |
непрерывная в промежутке [a,b] функция. Положим |
подчинив функцию ϕ(t) условиям: |
|
|
1) ϕ(t) |
определена и непрерывна в некотором промежутке [α,β] и не |
выходит за пределы промежутка [a,b], когда t изменяется в [α,β]; |
|
2) ϕ(α)= a , ϕ(β)= b ; |
′ |
|
|
|
|
3) существует в [α,β] непрерывная производная ϕ (t). |
|
Тогда имеет место формула |
β |
|
|
b |
|
|
|
′ |
(3.28) |
|
∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ (t)dt . |
|
a |
α |
|
Замечание 1. Подчеркнём, что при переходе к новой переменной надо находить новые пределы интегрирования. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной мы возвращались к старой переменной x , то при вычислении определенного интеграла по формуле (3.28) этого делать не нужно; вычислив правый интеграл в формуле (3.28), который представляет собой число, мы, тем самым вычислим и данный интеграл.
a |
(a > 0). |
|
Пример 1. Вычислить интеграл ∫ a2 − x2 dx |
|
0 |
|
|
|
|
Решение. Сделаем замену переменной: x = asin t , |
dx = a costdt . |
Определим новые пределы интегрирования: x = 0 при t = 0 и x = a при |
t = π; следовательно, t изменяется в пределах от 0 |
до |
π . Проверим закон- |
2 |
|
|
2 |
|
ность такой подстановки. |
|
|
|
|
Во-первых, подынтегральная функция f (x)= |
a2 − x2 непрерывна в |
промежутке интегрирования; во-вторых, функция |
x = sin t |
непрерывна вме- |
сте со своей производной xt′ = a cost в промежутке |
|
π |
и, в третьих, при |
0, |
|
изменении t от 0 до π функция x = ϕ(t)= asin t |
|
|
2 |
|
возрастает от 0 до a . При |
2 |
|
|
|
|
|
π |
= a . Таким образом, данная подстановка действительно |
этом ϕ(0)= 0 и ϕ |
|
|
2 |
|
удовлетворяет всем требованиям правила о замене переменной в определенном интеграле и потому мы вправе применить формулу (3.28). На основании этой формулы указанная подстановка даёт
|
π |
π |
a |
a2 − x2 dx = ∫2 |
a2 − a2 sin2 t a costdt = a2 ∫2 cos2tdt = |
∫ |
0 |
0 |
0 |
|
a2 |
π |
|
a2 |
|
sin 2t |
|
π2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1 + cos 2t)dt = |
|
|
|
πa2 . |
= |
|
∫ |
|
t + |
|
|
|
|
= |
|
2 |
2 |
|
4 |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.7. Интегрирование по частям
Для определенных интегралов имеет место формула интегрирования по
частям, аналогичная той, которая ранее была установлена нами для неопре- |
деленных интегралов. |
|
|
|
|
Теорема. Если функции u(x), v(x) – непрерывные вместе со своими |
производными в промежутке [a,b], то имеет место формула |
|
b |
|
b |
b |
|
|
|
∫udv = uv |
|
a |
− ∫vdu . |
(3.29) |
a |
|
a |
|
Формула (3.29) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
e
Пример 1. Вычислить интеграл ∫ln xdx .
|
|
|
1 |
|
|
|
|
du = dx |
|
Решение. Положим u = ln x , |
|
|
dv = dx , отсюда |
, v = x и по |
формуле (3.29) находим |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
e |
dx |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
∫ln xdx = x ln x |
|
|
− ∫x |
|
= e − x |
|
|
=1. |
|
|
|
x |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
π
Пример 2. Вычислить интеграл ∫x2 cos xdx .
0
Решение. Полагаем u = x2 , dv = cos xdx; находим du = 2xdx , v = sin x . Используя формулу интегрирования по частям (3.29), получим
π |
|
π |
π |
|
π |
|
|
∫x2 cos xdx = x2 sin x |
|
|
− 2∫xsin xdx . Так как x2 sin x |
|
= 0 , то |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
ππ
∫x2 cos xdx = −2∫xsin xdx .
π
Интеграл ∫ x sin xdx будем снова вычислять по частям. Полагаем u = x ,
0 |
|
|
|
|
|
|
|
dv = sin xdx и находим du = dx , |
v = −cos x . Тогда |
|
|
|
π |
|
π |
π |
|
π |
|
π |
|
|
|
∫x2 cos xdx = −2[− x cos x] |
|
+ 2∫cos xdx = −2[− x cos x] |
|
+ 2sin x |
|
= −2π. |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
Из рассмотрения этих примеров видно, что при выполнении интегрирования по частям иногда выгоднее производить вычисления прямо по формуле (3.29), чем сначала применять метод интегрирования по частям к соответствующему неопределенному интегралу, а затем использовать формулу Ньютона – Лейбница.
3.3. Геометрические приложения определенного интеграла
Определенный интеграл имеет разнообразные приложения в области геометрии (вычисление площадей, объёмов, длин кривых) и механики (вычисление работы переменной силы и др.). Мы здесь рассмотрим некоторые из них.
3.3.1. Вычисление площадей плоских фигур
I. Площадь фигуры в декартовых координатах
Если на отрезке [a,b] функция f (x)≥ 0 , то, как известно из п. 3.2.2, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и прямыми x = a и x = b (см. рис. 38), равна
S = ∫b |
f (x)dx . |
(3.30) |
a |
|
|
Фигуру, ограниченную непрерывной кривой x = g(y)≥ 0 |
(c ≤ y ≤ d ), |
осью OY и прямыми y = c , y = d (см. рис. 40) также называют криволиней-
ной трапецией (относительно оси OY ). Площадь S такой фигуры выражается формулой
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к вычислению определенного интеграла вида (3.30) или (3.31).
Рис. 40
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 0 , x =1, x = 3 и кривой y = 12 x2 (рис. 41).
Рис. 41
Решение. По формуле (3.30) находим
3 |
1 |
x2 dx = |
1 |
x3 |
3 |
13 |
|
S = ∫ |
|
|
= |
|
|
|
(кв. ед.). |
2 |
6 |
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Если криволинейная трапеция ограничена осью OX (OY ) и дугой кривой y = f (x) [x = g(y)], где f (x) ( g(y)) – непрерывная, неотрицательная на
данном сегменте функция, то для вычисления площади такой фигуры надо предварительно найти абсциссы (ординаты) точек пересечения кривой с осью OX ( OY ) и затем применить формулу (3.30) [соответственно (3.31)].
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OY и параболой x = 2 y − y2 (см. рис. 42).
138
Рис. 42
Решение. Вычислим сначала ординаты точек пересечения параболы с
осью OY : |
2 y − y |
2 = 0 , y = 0 , |
y |
2 |
= 2 . По формуле (3.31) искомая площадь |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y |
3 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ∫(2 y − y 2 )dy = y 2 − |
|
|
|
= |
|
(кв. ед.). |
|
3 |
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Пример 3. |
Вычислить |
площадь |
|
фигуры, |
ограниченной линиями |
y = x +1, |
y = cos x и осью OX (рис. 43). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Рис. 43 |
|
|
|
|
|
Решение. Функция |
|
|
|
|
|
|
|
x +1, |
если |
−1 ≤ x ≤ 0, |
|
y = f (x)= |
|
если |
0 ≤ x ≤ |
π |
|
cos x, |
|
2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
, и рассматриваемая фигура явля- |
очевидно, непрерывна на сегменте −1, |
2 |
|
|
|
|
ограничена осью OX и кривой |
ется криволинейной трапецией, которая |
|
|
|
|
|
|
π |
|
y = f (x). Поэтому площадь данной фигуры по (3.30) равна S = ∫2 |
f (x)dx или |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
139 |
|
π |
|
S = ∫0 |
f (x)dx + ∫2 |
f (x)dx = |
−1 |
0 |
|
|
π |
(x +1)2 |
|
0 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫0 (x +1)dx + ∫2 cos xdx = |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
+ sin x |
2 |
= |
(кв. ед.). |
2 |
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь функция f (x) непрерывна на |
[a,b] |
и f (x)≤ 0 , то есть |
кривая y = f (x) и криволинейная трапеция, ограниченная снизу этой кривой, лежат под осью OX . Рассмотрим функцию y = − f (x). Эта функция уже не-
отрицательная и, следовательно, график её лежит над осью OX и симметричен графику функции y = f (x) относительно оси OX , а криволинейная тра-
пеция aA′B′b , ограниченная сверху кривой y = − f (x), представляет собой
зеркальное отражение первоначальной трапеции aABb (рис. 44). Следовательно, фигуры aABb и aA′B′b конгруэнтны (равны), и, значит, площади их
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
равны. Так как площадь криволинейной трапеции aA B b , лежащей над осью |
OX , выражается формулой |
|
|
|
|
|
S = ∫b [− f (x)]dx = −∫b |
f (x)dx |
(3.32) |
a |
|
|
a |
|
|
или |
|
|
|
|
|
S = |
|
∫b |
f (x)dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
то этой же формулой выражается площадь данной трапеции aABb , расположенной под осью OX .
Таким образом, если f (x)≤ 0 на [a,b], то определённый интеграл (3.25)
по абсолютной величине также даёт площадь S криволинейной трапеции, расположенной под осью OX .
Рис. 44
