Ister_Mat_DPA_11ukr_2013 р

ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

АВ = = 15 : = = 25 (см).

Відповідь. Г).

1.11.Радіус основи конуса дорівнює 4 см, а твірна – 5 см. Знайдіть­ площу бічної поверхні конуса.

Розв’язання.

r = 4 см; l = 5 см; Sбіч = π ∙ r ∙ l = π · 4 · 5 = 20π (см2).

Відповідь. Б).

1.12.Порівняйте довжини­ відрізків АС і ВС, якщо А(–2; 3; 4),

В(0; 4; –1), С(5; 4; 4).

МАТЕМАТИКА

Отже, АС = ВС.

Відповідь. В).

Оформлення бланка відповідей першої частини

Розв’яжіть завдання 2.1–2.4. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.1.Обчисліть .

Розв’язання.

АТЕСТАЦІЯ

Відповідь. .

2.2.Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 0; 1; 2; 3, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання. З даних чотирьох цифр можна утворити Р4 = 4! чотирицифрових записів. Але оскільки серед цифр є нуль, то треба виключити записи, які починаються з нього, тобто Р3 записів. Отже, можна отримати Р4 – Р3 = = 24 – 6 = 18 чисел.

Відповідь. 18.

Розв’язання.

Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій:

x2 – 2x = 4 + x; x2 – 3x – 4 = 0; x1 = –1; x2 = 4.

ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА

Ординати точок перетину y1 = 3; y2 = 8.

Зображуємо графіки схематично (див. рис.).

Шукана площа дорівнює

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

2.4.Основою піраміди є прямокутник з більшою стороною

 см і кутом 60°, який утворює діагональ основи з меншою стороною. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 15 см. Знайдіть­ об’єм піраміди.

Розв’язання.

На рисунку основою піраміди є прямокутник ABCD; AD =  см; AСD = 60°, точка О – основа висоти.

У {AСD ( D = 90°): (cм).

SABСD = AD · DС = 9 · = (cм2).

Оскільки SA = SВ = SС = SD, то {SОA = {SОВ = {SОС =

={SОD (за катетом і гіпотенузою), тому AО = ВО = СО =

=DО.

Точка О рівновіддалена від вершин прямокутника ABCD і належить площині основи, а тому є центром описаного навколо цього прямокутника кола (точкою перетину діагоналей прямокутника).

У {ADС: (см).

(cм).

У {SОС: (см).

Тоді об’єм піраміди

(см3).

Відповідь.  см3.

Оформлення бланка відповідей другої частини

Зразок

Частина третя

Розв’язання завдань 3.1–3.3 повинні мати обґрунтування. У них по­ трібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно­ , проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

3.1. Розв’яжіть рівняння 3 · 42х – 2 · 42х–1 + 5 · 42х–2 = 45.

Розв’язання. Розв’яжемо рівняння методом рівносильних перетворень:

3 · 42х – 2 · 42х–1 + 5 · 42х–2 = 45; 3 · 42х – 2 · 42х · 4–1 + 5 · 42х · 4–2 = 45;

42х = 45;

42х · = 45;

42х = 16;

42х = 42;

2х = 2;

х = 1.

Відповідь. х = 1.

3.2.Спростіть вираз .

Розв’язання.

ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

.

Виконаємо скорочення дробу на sin22a за умови, що sin2a ≠ 0, тобто що , де n Z. Маємо

Відповідь. sin2α.

3.3.Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм з гост­ рим кутом 30° і площею 15 см2. Площі бічних граней паралелепіпеда дорівнюють 20 см2 і 24 см2. Знайдіть­ висоту паралелепіпеда.

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

Розв’язання.

Нехай сторони основ паралелепіпеда дорівнюють a і b, а висота – h.

За умовою Sосн = absin30° = 15, тобто ab = 15; ab = 30.

Бічні грані паралелепіпеда – прямокутники із сторонами a та h і b та h. Тому за умовою ah = 20; bh = 24. Маємо систему рівнянь

Почленно перемножимо ліві та праві частини рівнянь си­

стеми:

a2b2h2 = 30 ∙ 20 ∙ 24 = 3 ∙ 10 · 2 · 10 · 2 ∙ 3 ∙ 4; (abh)2 = (10 · 2 ∙ 3 ∙ 2)2;

abh = 120 (враховуючи, що a > 0, b > 0, h > 0).

Оскільки ab = 30, маємо: 30h = 120, h = 4.

Відповідь. 4 см.

Частина четверта

Розв’язання завдань 4.1м–4.4м повинні мати обґрунтування. У них по­ трібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно­ , проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

4.1м. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівнян-

ня cosx + sinx = .

Розв’язання.ОДЗ: х ≠ + πk, k Z. На ОДЗ вихідне

рівняння рівносильне рівнянню: cos2x + sinxcosx = а;

cos2x + sinxcosx = а(sin2x + cos2x);

аsin2x – sinxcosx + (а – 1)cos2x = 0. (1)

1) Якщо а = 0, то з вихідного рівняння маємо: cosx + sinx = 0; tgх = –1; х = –  + πn, n Z.

2) Якщо а ≠ 0, то маємо однорідне тригонометричне рівняння (1). Розділимо обидві частини цього рівняння на cos2x ≠ 0. Одержимо: аtg2х – tgх + (а – 1) = 0.

Заміна tgх = t приводить до рівняння аt2 – t + (а – 1) = 0.

D = 1 – 4а(а – 1) = 1 + 4а – 4а2.

D I 0, коли .

;

+ πm, m Z.

Якщо або , то рівняння розв’язків не має.

Відповідь. Якщо а = 0, то х = – + πn, n Z;

якщо , то + + πm, m Z;

якщо або , то рівняння розв’язків не має.

4.2м. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання.Оскільки і , то за нерівністю Коші ;

Розглянемо функцію у = cos5x. Область значень цієї функції­ Е(cos5x) = . Тоді Е(1 + cos5x) = .

Е(2х + 2–х) Е(1 + cos5x) = . Отже, коренем рівняння може бути лише те значення х, для якого значення лівої та правої частин рівняння дорівнюють 2.

2х + 2–х = 2, тільки коли х = 0. Але при х = 0 маємо

= 2.

Отже, х = 0 – єдиний корінь вихідного рівняння.

Відповідь. х = 0.

МАТЕМАТИКА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

МАТЕМАТИКА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

4.3м. Через деяку точку всередині трикутника паралельно його сторонам проведено три прямі. Ці прямі ділять трикутник на шість частин, три з яких – трикутники. Площі цих трикутників дорівнюють S1, S2 i S3. Знай­ діть площу даного трикутника.

Розв’язання. Позначимо довжини­ відрізків АF = x,

LC = y, FL = z.

З паралельності прямих MN, FP і KL відповідним сторонам

АВС випливає, що кожний з отриманих трикутників МKO, OРN, FOL подібний трикутни-

ку АВС (за двома кутами). Якщо шукану площу три-

кутника АВС позначити через S, то за властивістю площ подібних трикутників можна записати такі три рівності:

Додавши почленно ці три рівності, отримаємо:

Звідси маємо, S =.

Відповідь. .

4.4м. У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з прилеглими до неї сторонами основи кути α і β. Знайдіть­ відношення об’єму

паралелепіпеда до об’єму циліндра.

Розв’язання. Оскільки ци - ліндр і паралелепіпед мають однакові висоти, то шукане відношення об’ємів дорівнює відношенню площ основ.

Позначимо радіус основи циліндра R. Тоді:

Оскільки ВА АD і ВА є проекцією B1А на площину основи паралелепіпеда, то за теоремою про три перпендикуляри B1А АD.

Кут АDB1 – це кут, який утворює діагональ B1D зі стороною основи паралелепіпеда AD і за умовоюАDB1 = α. Позначимо B1D = d.

З {B1АD ( А = 90°, АDB1 = α, B1D = d) знаходимо

АD = dcosα.

Аналогічно з {B1DС знаходимо DС = dcosβ.

SABCD = AD · DC = d 2cosαcosβ.

З {АBD ( А = 90°) за теоремою Піфагора знаходимо

BD =

Враховуючи, що BD = 2R, маємо Таким чином, шукане відношення:

.

Відповідь. .

ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

МАТЕМАТИКА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

РОЗДІЛ І

ВАРІАНТ 1

Частина перша

Завдання 1.1–1.12 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки ОДНА відповідь ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку відповідей.

1.4.Знайдіть­ суму нескінченної геометричної прогресії 16; 8; 4; ...

1.5.Знайдіть­ градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює .

1.8.Знайдіть­ площу фігури, обмежену лініями , , , .

1.9. На якому з рисунків кути AOB і MON є вертикальними?

1.10.Знайдіть­ градусну міру внутрішнього кута правильного восьмикутника.

1.11.Об’єм призми дорівнює 150 см3, а площа основи – 10 см2. Знайдіть­ висоту призми.

1.12.Усі вершини ромба ABCD належать площині a. Пряма

m паралельна прямій AB. Як можуть бути розташовані пряма m і площина a? Виберіть правильне твердження.

А) пряма m може належати площині a або перетинати її, пряма m не може бути паралельною площині a;

Б) пряма m може належати площині a, пряма m не може перетинати площину a або бути паралельною площині a;

В) пряма m може належати площині a або бути паралельною площині a, пряма m не може перетинати площину a;

Г) пряма m може належати, бути паралельною площині a або перетинати площину a.

Частина друга

Розв’яжіть завдання 2.1–2.4. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.1.Розв’яжіть рівняння .

2.2.У коробці знаходиться 30 карток, що пронумеровані натуральними числами від 1 до 30. З коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записане число, яке не є дільником 30?

2.3. Розв’яжіть рівняння .

2.4.Висота конуса відноситься до його діаметра як 2 : 3, а твірна конуса дорівнює 10 см. Знайдіть­ площу повної поверхні конуса.

МАТЕМАТИКА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ