Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода восьмеричныхишестнадцатеричныхчисел вдвоичнуюсистему достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой или тетрадой (тройкой или четверкой цифр). Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки — и крайние нули справа.

Пример 4.Перевести число 305,4₈из восьмеричной системы счисления в двоичную.

Решение.

Используя таблицу 1, заменяем каждую цифру восьмеричного числа соответствующей триадой:

3. 011

1. 000

5 101

3. 100

Таким образом, 305,4₈ = 011000101,100, удаляем нули справа и слева, получается число 11000101,1_{2 .}

305,4₈ = 11000101,1₂

Пример 5.Перевести число 1A3,F₁₆в двоичную систему счисления.

1A3,F₁₆= 0001 1010 0011,1111 = 110101100,1111₂

Чтобы перевести число из двоичной системы ввосьмеричнуюилишестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример6. Перевести число 111001100,0012 из двоичной в восьмеричную систему счисления.

Переводимое число Результат

111 001 100, 0012 = 714.1₈

При переводе десятичногочисла в систему с основаниемq его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1.

Числа с основанием qзаписываются как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример 7.Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

в двоичную в 8-ричную в 16-ричную

75	2							75	8			75	16
1	37	2						3	9	8		11	4
	1	18	2						1	1
		0	9	2
			1	4	2
				0	2	2
					0	1

Ответ: 75₁₀= 1 001 011₂= 4В₁₆

Чтобы перевести число из системы счисления с основанием qвдесятичную,надо это число представить в виде суммы степеней основанияq.

Пример 8.

1011,1₂=1000 + 10 + 1 + 0,1 = 1*2³+ 1*2¹+ 1*2⁰+ 1*2^-1=11,5₁₀

276,5₈= 200 + 70 + 6 + 0,5 = 2*8²+ 7*8¹+ 6*8⁰+5*8^-1= 190,62₁₀

1F3₁₆= 100 +F0 + 3 = 1*16²+ 15*16¹+ 3*16⁰=499₁₀

1.6. Логические основы эвм

Для анализа и синтеза схем в ЭВМ при алгоритмизации и программировании решения задач широко используется математический аппарат алгебры логики. Основоположником математической логики является немецкий математикГотфрид Вильгельм Лейбниц(1646-1716 гг.). На заложенном Лейбницем фундаменте ирландский математикДжордж Бульпостроил здание новой науки – математической логики, которая в отличие от обычной алгебры оперирует не числами, а высказываниями.

Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1.

Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности.

Пример 9. Определить значения истинности для следующих высказываний.

«Лед – твердое вещество» - истинное высказывание.

«Париж – столица Китая» - ложное высказывание.

«Треугольник – это геометрическая фигура» - истинное высказывание.

Таким образом, по своей сути высказывания фактически являются двоичными объектамии поэтому истинному значению ставят в соответствии 1 (TRUE), а ложному – 0 (FALSE). В алгебре логики все высказывания обозначают буквами А,B,Cи т.д. Например, запись А = 1 означает, что высказывание А истинно.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций. Функции могут получаться путем объединения переменных с помощью логических операций.

Простейшими операциями в алгебре логики являются следующие операции:

• Логическое сложение(операцияИЛИ (OR), операциядизъюнкции)

Это бинарная операция, так как представляет собой результат действий над двумя логическими величинами. Записывается в виде: AB или A+B.Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значениехотя бы одногоиз операндов истинно.

• Логическое умножение(операцияИ (AND),операцияконъюнкции)

Также является бинарной, но в отличии от дизъюнкции имеет значение ИСТИНА, если обаее операнда истинны. Записывается: AB или A*B.

• Отрицание(операцияНЕ (NOT),операцияинверсии)

Унарная операция, то есть имеет всего один операнд. Записывается: или A.

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которых можно построить сколь угодно сложное логическое выражение.

Логическое выражение (логическая формула) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является одно из двух значений: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Существуют специальные таблицы, в которых указываются все возможные комбинации логических переменных AиB, а также соответствующие им результаты операций. Они называютсятаблицами истинности.

Таблицы истинности:

A	NOT A ( A)		A	B	A OR B (AB)	A AND B (AB)
1	0		0	0	0	0
0	1		1	0	1	0
			0	1	1	0
			1	1	1	1

В соответствии с международным стандартом на схемах логические блоки изображаются в следующем виде:

Схема ИЛИ, реализующая операцию логического сложения

Схема И, реализующая операцию логического умножения

Схема НЕ, реализующая операцию инверсии

Пример 9.Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делиться на 2, и число 6 делиться на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы.

Обозначим через Aпростое высказывание «число 6 делиться на 2», а черезB«число 6 делиться на 3». Тогда соответствующая логическая формула примет вид:AB. Ее значение – ИСТИНА.

Пример 10. Вычислить значение логической формулы:не X и Y или X и Z, если логические переменные имеют значения:X= ЛОЖЬ,Y= ИСТИНА,Z= ИСТИНА.

Отметим порядок выполнения операций в логическом выражении:

1 2 4 3

не X и Y или X и Z

1. неX– не ЛОЖЬ = ИСТИНА;

2. XиY– ИСТИНА и ИСТИНА = ИСТИНА;

3. XиZ– ИСТИНА и ЛОЖЬ = ЛОЖЬ;

4. YилиX– ИСТИНА или ЛОЖЬ = ИСТИНА.

Ответ: ИСТИНА.